সৃজনশীলঃ ‘…’ আনন্দ মোহন কলেজ ২০২৬ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $A(1,2),B(2,3),C(3,1)$ 

এখানে, $\mathrm{AC}=\sqrt{(3-1{)}^2+(1-2{)}^2}$ একক

$=\sqrt{4+1}$

$=\sqrt{5}$ একক

$\mathrm{BC}=\sqrt{(3-2{)}^2+(1-3{)}^2}$ একক

$=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ একক

যেহেতু $△\mathrm{ABC}$ এর AC বাহু $=\mathrm{BC}$ বাহু

সুতরাং, $△\mathrm{ABC}$ সমদ্বিবাহু, তাহলে, D, AB-এর মধ্যবিন্দু।

AB এর মধ্যবিন্দু, $D(\frac{1+2}{2},\frac{2+3}{2})=D(\frac{3}{2},\frac{5}{2})$

এখন, $C(3,1)$ এবং $D(\frac{3}{2},\frac{5}{2})$ বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার

সমীকরণ, $\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}$

বা, $\frac{x-3}{3-\frac{3}{2}}=\frac{y-1}{1-\frac{5}{2}}$

বা, $\frac{x-3}{\frac{3}{2}}=\frac{y-1}{-\frac{3}{2}}$

বা, $\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{-1}$

বা, $y-1=-(x-3)$

বা, $y-1+x-3=0$

$\therefore x+y-4=0$

নির্ণেয় CD রেখার সমীকরণ, $x+y-4=0$.

ধরি, বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2+2\mathrm{gx}+2fy+c=0$ ....... (i)

বৃত্তটির কেন্দ্র $(-g,-f)$, ব্যাসার্ধ $=\sqrt{g^2+f^2-c}$

(i)নং বৃত্তটি $A(1,2),B(2,3)$ ও $C(3,1)$ বিন্দুগামী

$\therefore 1^2+2^2+2g\cdot 1+2\text{.f. }2+c=0$

বা, $5+2g+4f+c=0$ .......... (ii)

আবার, $2^2+3^2+2g\cdot 2+2f\cdot 3+c=0$

$\therefore 13+4g+6f+c=0$ ......... (iii)

এবং $3^2+1^2+2g\cdot 3+2f\cdot 1+c=0$

$\therefore 10+6g+2f+c=0$ ....... (iv)

(iii)নং হতে (ii)নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

$8+2g+2f=0$ ........ (v)

(iii)নং হতে (iv)নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

$3-2g+4f=0$ ....... (vi)

এখন, (v)নং ও (vi)নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$11+6f=0$

বা, $6f=-11$

$\therefore f=\frac{-11}{6}$

(v)নং সমীকরণে $f=\frac{-11}{6}$ বসিয়ে পাই,

$8+2g+2\cdot \left(\frac{-11}{6}\right)=0$

বা, $8+2g-\frac{11}{3}=0$

বা, $2g=\frac{11}{3}-8=\frac{11-24}{3}=\frac{-13}{3}$

$\therefore g=\frac{-13}{6}$

(iii) নং সমীকরণে $g$ ও $f$ এর মান বসিয়ে পাই,

$13+4\cdot \left(\frac{-13}{6}\right)+6\left(\frac{-11}{6}\right)+c=0$

বা, $13-\frac{26}{3}-11+c=0$

বা, $\frac{39-26-33}{3}+c=0$

বা, $\frac{-20}{3}+c=0$

$\therefore c=\frac{20}{3}$

$\therefore$ (i)নং সমীকরণে $g,f$ ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+2\cdot \left(\frac{-13}{6}\right)x+2\left(\frac{-11}{6}\right)y+\frac{20}{3}=0$

বা, $x^2+y^2-\frac{13}{3}x-\frac{11}{3}y+\frac{20}{3}=0$

$\therefore 3x^2+3y^2-13x-11y+20=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ : $3x^2+3y^2-13x-11y+20=0$.