সৃজনশীলঃ ‘∠AOC=90∘,OA=2 এবং P=tan⁡θtan⁡2θtan⁡5θ…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৯ – ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$OA=OB=OC=2$

$\angle AOB={30}^{\circ },\angle AOC={90}^{\circ }$

$\therefore \angle BOC={90}^{\circ }-{30}^{\circ }={60}^{\circ }$

$OBEC$ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times 2^2\times 60\times \frac{\pi }{180}$

$=2.094$ বর্গ একক।

$OBC$ এ্রিভূজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times 2\times 2\times \sin {60}^{\circ }$

$=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=1.732$ বর্গ একক

$\therefore$ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = OBEC বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল-OBC ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = (2.094-1.732) বর্গ একক

$=0.36$ বর্গ একক (প্রায়)

নির্ণেয় ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল 0.36 বর্গ একক (প্রায়)

দেওয়া আছে,

$P=\tan \theta \tan 2\theta \tan 5\theta$

$\theta ={40}^{\circ }$ হলে,

$P=\tan {40}^{\circ }\tan (2\times {40}^{\circ })\tan (5\times {40}^{\circ })$

$=\tan {40}^{\circ }\tan {80}^{\circ }\tan {200}^{\circ }$

$=\tan {40}^{\circ }\tan {80}^{\circ }\tan ({180}^{\circ }+{20}^{\circ })$

$=\tan {40}^{\circ }\tan {80}^{\circ }\tan {20}^{\circ }$

$=\tan {20}^{\circ }\tan ({60}^{\circ }-{20}^{\circ })\tan ({60}^{\circ }+{20}^{\circ })$

$=\tan {20}^{\circ }\frac{\tan {60}^{\circ }-\tan {20}^{\circ }}{1+\tan {60}^{\circ }\tan {20}^{\circ }}\cdot \frac{\tan {60}^{\circ }+\tan {20}^{\circ }}{1-\tan {60}^{\circ }\tan {20}^{\circ }}$

$=\tan {20}^{\circ }\frac{\sqrt{3}-\tan {20}^{\circ }}{1+\sqrt{3}\tan {20}^{\circ }}\cdot \frac{\sqrt{3}+\tan {20}^{\circ }}{1-\sqrt{3}\tan {20}^{\circ }}$

$=\tan {20}^{\circ }\frac{3-{\tan }^2{20}^{\circ }}{1-3\tan {220}^{\circ }}$

$=\frac{3\tan {20}^{\circ }-{\tan }^3{20}^{\circ }}{1-3{\tan }^2{20}^{\circ }}$

$=\tan \left({3.20}^{\circ }\right)=\tan {60}^{\circ }=\sqrt{3}$

$\therefore P=\sqrt{3}\cdot$ (প্রমাণিত)