সৃজনশীলঃ ‘A=sec−1⁡5,B=12sin−1⁡pq,C=sin−1⁡rf(x)=sin⁡αx,g(x)=sin⁡βx…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২২ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $A={\sec }^{-1}\sqrt{5},B=\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\underset{q}{p},C={\sin }^{-1}rp=3,q=5,r=\frac{1}{\sqrt{10}}$ হলে,

বামপক্ষ$\begin{array}{cc}& \text{ বামপক্ষ }=A-B+C\\ & ={\sec }^{-1}\sqrt{5}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{p}{q}+{\sin }^{-1}r\\ & ={\cos }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+{\sin }^{-1}\frac{1}{\sqrt{10}}\\ & ={\tan }^{-1}2-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+{\tan }^{-1}\frac{1}{3}\\ & ={\cot }^{-1}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot 2{\tan }^{-1}\frac{1}{3}\\ & ={\cot }^{-1}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{2\cdot \frac{1}{3}}{1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}\end{array}$

$={\cot }^{-1}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{6}{10}$

$={\cot }^{-1}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}$

$={\cot }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=$ ডানপক্ষ

$\therefore A-B+C={\cot }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin \alpha x;g\left(x\right)=\sin \beta x\alpha =1,\beta =3$ হলে, $f\left(x\right)=\sin x,g\left(x\right)=\sin 3x$

এখানে,

$2f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)=1$

বা, $2\sin x\cdot \sin 3x=1$

বা, $2\sin 3x\cdot \sin x=1$

বা, $\cos (3x-x)-\cos (3x+x)=1$

বা, $\cos 2x-\cos 4x=1$

বা, $\cos 2x=1+\cos 4x$

বা, $2{\cos }^{2}2x-\cos 2x=0$

বা, $\cos 2x=2{\cos }^{2}2x$

বা, , $\cos 2x(2\cos 2x-1)=0$

হয়, $\cos 2x=0$

বা,$2x=(2n+1)\frac{\pi }{2},n\in Z$

$\therefore x=(2n+1)\frac{\pi }{4}$

অথবা, $2\cos 2x-1=0$

বা, $\cos 2x=\frac{1}{2}$

বা, $\cos 2x=\cos \frac{\pi }{3}$

বা, $2x=2n\pi \pm \frac{\pi }{3}$

বা, $x=n\pi \pm \frac{\pi }{6};n\in Z$

$\therefore x=(2n+1)\frac{\pi }{4},n\pi \pm \frac{\pi }{6}$

$n=0$ হলে, $x=\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{6},\frac{-\pi }{6}$

$n=1$ হলে, $x=\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$

$n=-1$ হলে, $x^{-1}=-\frac{\pi }{4},\frac{-5\pi }{6},\frac{-7\pi }{6}$

$n=2$ হলে, $x=\frac{5\pi }{4},\frac{13\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$

$n=-2$ হলে, $x=\frac{-3\pi }{4},\frac{-11\pi }{6},\frac{-13\pi }{6}$

$-\pi$ হতে $\pi$ ব্যবধিতে, $x=\frac{-3\pi }{4},\frac{-5\pi }{6},\frac{-\pi }{4},\frac{-\pi }{6},\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{6}$.

নির্ণেয় সমাধান: $x=\frac{-3\pi }{4},\frac{-5\pi }{6},\frac{-\pi }{4},\frac{-\pi }{6},\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{6}$.