সৃজনশীলঃ ‘A=sin−1⁡23, B=cos−1⁡34,C=tan−1⁡15 এবং…’ রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ ২০২৬ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$A={\sin }^{-1}\frac{2}{3},B={\cos }^{-1}\frac{3}{4},C={\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}$

ধরি, $B={\cos }^{-1}\frac{3}{4}=\theta$

বা, $\cos \theta =\frac{3}{4}$

$\therefore \sin \theta =\frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \frac{\theta }{2}=\frac{\sin \frac{\theta }{2}}{\cos \frac{\theta }{2}}=\frac{2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}{2{\cos }^2\frac{\theta }{2}}=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }=\frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{1+\frac{3}{4}}=\frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{7}{4}}$

$\therefore \tan \frac{\theta }{2}=\frac{1}{\sqrt{7}}$

বা, $\frac{\theta }{2}={\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{7}}$

$\therefore \frac{1}{2}{\cos }^{-1}\frac{3}{4}={\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{7}}$

বামপক্ষ $=A-\frac{1}{2}B+C$

$={\sin }^{-1}\frac{2}{3}-\frac{1}{2}{\cos }^{-1}\frac{3}{4}+{\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}$

$={\sin }^{-1}\frac{2}{3}-{\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{7}}+{\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}$

$={\tan }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}+{\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}-{\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{7}}$

$={\tan }^{-1}\frac{\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}}{1-\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}}-{\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{7}}$

$={\tan }^{-1}\frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\frac{5-2}{5}}-{\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{7}}$

$={\tan }^{-1}\sqrt{5}-{\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{7}}={\tan }^{-1}\frac{\sqrt{5}-\frac{1}{\sqrt{7}}}{1+\sqrt{5}\cdot \frac{1}{\sqrt{7}}}$

$={\tan }^{-1}\frac{\frac{\sqrt{35}-1}{\sqrt{7}}}{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}}}={\tan }^{-1}(\frac{\sqrt{35}-1}{\sqrt{7}}\times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}})$

$={\tan }^{-1}\left(\frac{\sqrt{\frac{7}{35}}-1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\right)=$ ডানপক্ষ

$\therefore A-\frac{1}{2}B+C={\tan }^{-1}\left(\frac{\sqrt{35}-1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\right)$ (প্রমাণিত) 

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=\tan x$
$\therefore f(\frac{\pi }{2}-2x)=\tan (\frac{\pi }{2}-2x)=\cot 2x$
$f(\frac{\pi }{2}-x)=\tan (\frac{\pi }{2}-x)=\cot x$

প্রদত্ত সমীকরণ,

$f(\frac{\pi }{2}-2x)=f\left(x\right)\cos x+f(\frac{\pi }{2}-x)\sin x$

বা, $\cot 2x=\tan x\cos x+\cot x\sin x$
বা, $\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \cos x+\frac{\cos x}{\sin x}\cdot \sin x$

বা, $\frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{2\sin x\cos x}=\sin x+\cos x$
বা, $\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{2\sin x\cos x}=\sin x+\cos x$
বা, $(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)-2\sin x\cos x(\sin x+\cos x)=0$
বা, $(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x-2\sin x\cos x)=0$
হয়, $\cos x+\sin x=0$
বা, $1+\tan x=0[\cos x$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $\tan x=-1$ বা, $\tan x=\tan (-\frac{\pi }{4})$
$\therefore x=n\pi -\frac{\pi }{4}$, যেখানে $n\in Z$
অথবা, $\cos x-\sin x-2\sin x\cos x=0$
বা, $\cos x-\sin x=2\sin x\cos x$
বা, $\cos x-\sin x=\sin 2x$
বা, $(\cos x-\sin x{)}^2={\sin }^{2}2x$ [বর্গ করে]
বা, ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x={\sin }^{2}2x$
বা, $1-\sin 2x={\sin }^{2}2x$
বা, ${\sin }^{2}2x+\sin 2x-1=0$
বা, $\sin 2x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2}=\frac{1}{2}(-1\pm \sqrt{5})$

অর্থাৎ, $\sin 2x=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{5});$ কারণ সাইন অনুপাতের মান $-1$ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হতে পারে না।
ধরি, $\sin \alpha =\frac{1}{2}(-1+\sqrt{5})$
বা, $\alpha ={\sin }^{-1}\left\{\frac{1}{2}\right(-1+\sqrt{5}\left)\right\}$
তাহলে, $\sin 2x=\sin \alpha$
$\therefore 2x=n\text{boldsymbol}\pi +(-1{)}^n\text{boldsymbol}\alpha$; যেখানে $n\in Z$
বা, $x=\frac{1}{2}n\pi +(-1{)}^n\cdot \frac{1}{2}\alpha$.
নির্ণেয় সমাধান : $x=n\pi -\frac{\pi }{4},\frac{1}{2}n\pi +(-1{)}^n\cdot \frac{1}{2}\alpha$.
যেখানে $\alpha ={\sin }^{-1}\left\{\frac{1}{2}\right(-1+\sqrt{5}\left)\right\}$.