সৃজনশীলঃ ‘ax2+2hxy+by2+2gx+2fy+c=0 একটি কনিক।…’ ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

কনিকের সমীকরণ,

$a{x}^2+2hxy+b{y}^2+2gx+2fy+c=0$

$a=4,h=0,b=5,g=-8,f=5,c=1$ হলে, কনিকটির সমীকরণ $4x^2+2.0.xy+5.y^2+2.(-8).x+2.5.y+1=0$

বা, $4x^2+0+5y^2-16x+10y+1=0$

বা, $4x^2-16x+5y^2+10y+1=0$

বা, $4(x^2-4x)+5(y^2+2y)+1=0$

বা, $4(x^2-2\cdot x\cdot 2+2^2)+5(y^2+2y+1)=-1+16+5$

বা, $4(x-2{)}^2+5(y+1{)}^2=20$

বা, $\frac{(x-2{)}^2}{5}+\frac{(y+1{)}^2}{4}=1$

বা, $\frac{(x-2{)}^2}{5}+\frac{(y+1{)}^2}{4}=1$

বা, $\frac{(x-2{)}^2}{(\sqrt{5}{)}^2}+\frac{(y+1{)}^2}{(2{)}^2}=1$; যा একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।

সমীকরণটিকে উপবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ $\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$X=x-2,Y=y+1,a=\sqrt{5}$

এবং $b=2$

$\therefore a>b$

উৎকেন্দ্রিকতা $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

$=\sqrt{1-\frac{4}{5}}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$

$\therefore$ উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ,

$X=\pm \mathrm{ae}$

বা, $x-2=\pm \sqrt{5}\times \frac{1}{\sqrt{5}}$

বা, $x-2=\pm 1$

$\therefore x-2\pm 1=0.$

নির্ণেয় উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ $x-2\pm 1=0$.

এখানে, কনিকটির উৎকেন্দ্রিকতা $e=1$ হওয়ায় এটি একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে।

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র $S(1,1)$

নিয়ামকরেখা MZ এর সমীকরণ,

$3x+4y=1$

বা, $3x+4y-1=0$

ধরি, পরাবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$

$\therefore$ পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, $SP=PM$

বা, $\sqrt{(x-1{)}^2+(y-1{)}^2}=\frac{|3x+4y-1|}{\sqrt{3^2+4^2}}$

বা, $x^2-2x+1+y^2-2y+1=\frac{(3x+4y-1{)}^2}{25}$ [বর্গ করে]

বা, $25x^2+25y^2-50x-50y+50=9x^2+16y^2+1+24\mathrm{xy}-8y-6x$

$\therefore 16x^2-24xy+9y^2-44x-42y+49=0$

পরাবৃত্তটিকে $a{x}^2+2bxy+b{y}^2+2gx+2fy+c=0$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$a=16,b=9,c=49$

$\therefore a+b-c=16+9-49=-24$

অত্রব, $a+b-c=-24$. (দেখানো হলো)