সৃজনশীলঃ ‘ax2−2hxy+by2−2gx+2fy−c=0 একটি কনিক।…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $a{x}^2-2bxy+b{y}^2-2gx+2fy-c=0$ ........ (1)

এবং $a=9,h=0;b=-16,g=9,f=-32,c=199$

$\therefore$ (1)নং হতে পাই,

$9x^2-2.0.xy+(-16)y^2-2.9.x+2(-32)y-199=0$

বা, $9x^2-16y^2-18x-64y-199=0$

বা, $9(x^2-2x)-16(y^2+4y)-199=0$

বা, $9(x^2-2x+1-1)-16(y^2+2$. y. $2+2^2-2^2)-199=0$

বা, $9(x-1{)}^2-9-16(y+2{)}^2+64-199=0$

বা, $9(x-1{)}^2-16(y+2{)}^2=144$

বা, $\frac{(x-1{)}^2}{16}-\frac{(y+2{)}^2}{9}=1$

বা, $\frac{(x-1{)}^2}{4^2}-\frac{(y+2{)}^2}{3^2}=1$

বা, $\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1$; যেখানে, $X=x-1,Y=y+2$

$a=4,b=3$

$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$

উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $X=\pm \mathrm{ae}$

অর্থাৎ, $x-1=\pm 4\times \frac{5}{4}$

বা, $x-1=\pm 5$

${}^{\prime }{+}^{\prime }$ চিহ্ন নিয়ে পাই, $x-1=5$

$\therefore x-6=0$

${}^{\prime }{-}^{\prime }$ চিহ্ন নিয়ে পাই, $x-1=-5$

$\therefore x+4=0$

নির্ণেয় উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $x-6=0,x+4=0$.

দেওয়া আছে, উপকেন্দ্র, $S(-1,1)$

এবং নিয়ামক, $x+y+1=0$

উৎকেন্দ্রিকতা, e = 1

ধরি, কণিকের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$

পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, SP=PM

বা, ${SP}^2={PM}^2$

বা, $(x+1{)}^2+(y-1{)}^2={\left|\frac{x+y+1}{\sqrt{1^2+1^2}}\right|}^2$

বা, $(x+1{)}^2+(y-1{)}^2=\frac{(x+y+1{)}^2}{2}$

বা. $x^2+2x+1+y^2-2y+1=\frac{1}{2}(x+y+1{)}^2$

বা, $2x^2+4x+2y^2-4y+4=x^2+y^2+1+2xy+2y+2x$

বা, $x^2-2xy+y^2+2x-6y+3=0$ ....... (i)

উদ্দীপক হতে, $a{x}^2-2bxy+b{y}^2-2gx+2fy-c=0$ ........ (ii)

(i) ও (ii)নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,

এবং$h=1,a=1,b=1,c=-3\text{ এবং }f=-3$

এখন, বামপক্ষ $=h^2-\mathrm{ab}=1^2-1\times 1=0$

এবং ডানপক্ষ $=c-f=-3-(-3)=0$

$\therefore h^2-ab=c-f$. (দেখানো হলো)