সৃজনশীলঃ ‘ax2+bx+c=0 একটি সমীকরণ…’ রংপুর ক্যাডেট কলেজ ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha ,{\alpha }^2$ 

$\therefore \alpha +{\alpha }^2=\frac{-b}{a}$ 

এবং $\alpha \cdot {\alpha }^2=\frac{c}{a}$ বा, ${\alpha }^3=\frac{c}{a}$ 

এখন , $\frac{(a-b{)}^3}{(c-b{)}^3}=\frac{{(1-\frac{b}{a})}^3}{{(\frac{c}{a}-\frac{b}{a})}^3}=\frac{{(1+\frac{-b}{a})}^3}{{(\frac{c}{a}+\frac{-b}{a})}^3}$ 

$=\frac{{(1+\alpha +{\alpha }^2)}^3}{{({\alpha }^3+\alpha +{\alpha }^2)}^3}$ [মান বসিয়ে] 

$=\frac{{(1+\alpha +{\alpha }^2)}^3}{{\left\{\alpha (1+\alpha +{\alpha }^2)\right\}}^3}=\frac{1}{{\alpha }^3}=\frac{1}{\frac{c}{a}}$ 

বा, $\frac{(a-b{)}^3}{(c-b{)}^3}=\frac{a}{c}$ 

$\therefore c(a-b{)}^3=a(c-b{)}^3$. (দেখানো হলো) 

দেওয়া আছে, $a{x}^2+bx+c=0$
বা, $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$...........\left(1\right)$
এবং অপর সমীকরণ, ${\mathrm{cx}}^2-2\mathrm{bx}+4a=0$$..........\left(2\right)$

$\left(1\right)$ নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে, $\alpha +\beta =-\frac{b}{a}$ 

এবং $\alpha \beta =\frac{c}{a}$

$\left(2\right)$ নং সমীকরণ হতে পাই, $c{x}^2-2bx+4a=0$

বা, $\frac{{\mathrm{cx}}^2}{a}-\frac{2\mathrm{bx}}{a}+\frac{4a}{a}=\frac{0}{a}$ [$a$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $\left(\frac{c}{a}\right)x^2+2\left(\frac{-b}{a}\right)x+4=0$
বা, $\alpha \beta x^2+2(\alpha +\beta )x+4=0$
বা, $\alpha \beta x^2+2\alpha x+2\beta x+4=0$
বা, $\alpha x(\beta x+2)+2(\beta x+2)=0$
বা, $(\beta x+2)(\alpha x+2)=0$ 

হয়, $\beta x+2=0$ 

$\therefore x=\frac{-2}{\beta }$ 

অথবা, $\alpha x+2=0$
বা, $\alpha x=-2^{\circ }$ 

$\therefore x=\frac{-2}{\alpha }$ 

নির্ণেয় মূলদ্বয় $\frac{-2}{\alpha }$ এবং $\frac{-2}{\beta }$.