সৃজনশীলঃ ‘a=x3,b=8.…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০১৯ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

প্রশ্নমতে, $={(2a-\frac{2}{a})}^{10}$

$={(2x^3-\frac{2}{x^3})}^{10}[\because a=x^3]$

মনে করি, ${(2x^3-\frac{2}{x^3})}^{10}$ এর বিস্তৃতিতে $(r+1)$ তম পদটি ধ্রুব পদ।

$\therefore (r+1)$ তম পদ $={}^{10}{C}_r\cdot {\left(2x^3\right)}^{10-r}\cdot {\left(\frac{-2}{x^3}\right)}^r$

$={}^{10}{C}_r\cdot 2^{10-r}\cdot x^{30-3r}\cdot (-2{)}^r\cdot x^{-3r}$

$={}^{10}{C}_r\cdot 2^{10-r}\cdot (-2{)}^r\cdot x^{30-6r}$

ধ্রুব পদের জন্য, $30-6r=0$

বা, $6r=30$

বা, $r=5$

$\therefore (5+1)$ তম বা 6 তম পদটি ধ্রুব

$\therefore$ ধ্রুব পদ $={}^{10}{C}_5\cdot 2^{10-5}\cdot (-2{)}^5$

$={}^{10}{C}_5\cdot 2^5\cdot (-2{)}^5$

$=-{}^{10}{C}_5\cdot 2^{10}$

$=-258048$

নির্ণেয় ধ্রুব পদের মান -258048

দেওয়া আছে,

$a-b=0$

বা, $x^3-8=0[a=x^3,b=8]$

বা, $x^3-2^3=0$

বা, $(x-2)(x^2+2x+4)=0$

হয়, $x-2=0$

বা, $x=2$

অথবা, $x^2+2x+4=0$

বা, $x=\frac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1}$

$=$$\frac{-2\pm \sqrt{-12}}{2}$

$=$$\frac{-2\pm 2\sqrt{-3}}{2}$

$=-1\pm \sqrt{-3}=-1\pm i\sqrt{3}$

জটিল মূলদ্বয় $-1+i\sqrt{3}$ এবং $-1-i\sqrt{3}$

$\therefore z_1=-1+i\sqrt{3}$ এবং $z_2=-1-i\sqrt{3}$

এখন, $z_1\cdot z_2=(-1+i\sqrt{3})(-1-i\sqrt{3})$

$=(-1{)}^2-(i\sqrt{3}{)}^2$

$=1+3=4=4+0i$

বামপক্ষ $=\mathrm{Arg}(z_1\cdot z_2)$

$={\tan }^{-1}\frac{0}{4}={\tan }^{-1}0=0$

ডানপক্ষ $=\mathrm{Arg}\left(z_1\right)+\mathrm{Arg}\left(z_2\right)$

$={\tan }^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right)+{\tan }^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right)$

$=(\pi -\frac{\pi }{3})-(\pi -\frac{\pi }{3})=0$

$\therefore \arg \left(z_1{z}_2\right)=\arg \left(z_1\right)+\arg \left(z_2\right)$ ( (প্রমাণিত)