সৃজনশীলঃ ‘ax=by=cz এবং f(x)=ln⁡5+x5−x…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৪ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $\sqrt[x]{a}=\sqrt[x]{b}=\sqrt[z]{c}$

ধরি, $\sqrt[x]{a}=\sqrt[y]{b}=\sqrt[z]{c}=k$

বা, $a^{\frac{1}{x}}=b^{\frac{1}{y}}=c^{\frac{1}{z}}=k$

তাহলে, $a^{\frac{1}{x}}=k$

বা, $a=k^x$

$b^{\frac{1}{y}}=k$

বা, $b=k^y$

$\frac{1}{c^z}=k$

বা, $c=k^z$

$abc=1$ হলে, $k^x\cdot k^y\cdot k^z=1$

বা, $k^{x+y+z}=1=k^0\therefore x+y+z=0$

বামপক্ষ $=\frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{1}{p^y+p^{-z}+1}+\frac{1}{p^2+p^{-x}+1}$

$=\frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{p^{-y}}{p^y\cdot p^{-y}+p^{-z}\cdot p^{-y}+p^{-y}}+\frac{p^x}{p^z\cdot p^x+p^{-x}\cdot p^x+p^x}$

$\begin{array}{cc}& =\frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{p^{-y}}{p^{y-y}+p^{-(z+y)}+p^{-y}}+\frac{p^x}{p^{z+x}+p^{-x+x}+p^x}\\ & =\frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{p^{-y}}{p^0+p^x+p^{-y}}+\frac{p^x}{p^{-y}+p^0+p^x}[\because x+y+z=0]\\ & =\frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{p^{-y}}{1+p^x+p^{-y}}+\frac{p^x}{p^{-y}+1+p^x}\\ & =\frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{p^{-y}}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{p^x}{p^x+p^{-y}+1}\end{array}$

$=\frac{1+p^{-y}+p^x}{p^x+p^{-y}+1}=\frac{p^x+p^{-y}+1}{p^x+p^{-y}+1}=1=$ ডানপক্ষ

$\therefore \frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{1}{p^y+p^{-z}+1}+\frac{1}{p^z+p^{-x}+1}=1$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\ln \frac{5+x}{5-x}$

যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়।

$\therefore \frac{5+x}{5-x}>0$ হবে যদি (i) $5+x>0$ এবং $5-x>0$ হয়

অথবা, (ii) $5+x<0$ এবং $5-x<0$ হয়

(i)নং হতে পাই,

$x>-5$ এবং $-x>-5$

বা, $x>-5$ এবং $x<5$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x:x>-5\}\cap \{x:x<5\}$

$=(-5,\infty )\cap (-\infty ,5)=(-5,5)$

(ii)নং হতে পাই,

$x<-5$ এবং $-x<-5$

বা, $x<-5$ এবং $x>5$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x:x<-5\}\cap \{x:x>5\}=(-\infty ,-5)\cap (5,\infty )=\varnothing$

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন

$D_f=$ (i) ও (ii) এর ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ

$=(-5,5)\cup \varnothing =(-5,5)$

ধরি, $y=f\left(x\right)=\ln \frac{5+x}{5-x}$

বা, $e^y=\frac{5+x}{5-x}$

বা, $5+x=5e^y-x{e}^y$

বা, $x+x{e}^y=5e^y-5$

বা, $x(1+e^y)=5(e^y-1)$

বা, $x=\frac{5(e^y-1)}{e^y+1}$

$y$-এর সকল বাস্তব মানের জন্য $x$ এর মান বাস্তব হয়।

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ $R_f=R$

নির্ণেয় ডোমেন $D_f=(-5,5)$ এবং রেঞ্জ $R_f=R$.