সৃজনশীলঃ ‘B=[12−15−2−33−51];X=[xyz]এবং P=[−3310] তিনটি…’ ২০২৫ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $B=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 5& -2& -3\\ 3& -5& 1\end{array}\right]$

$|B|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 5& -2& -3\\ 3& -5& 1\end{array}\right|$

$=1(-2-15)-2(5+9)-1(-25+6)$

$=-17-28+19=-26\ne 0$

$\therefore B^{-1}$ নির্ণয়যোগ্য।

$AdjB={\left[\begin{array}{ccc}{B}_{11}& B_{12}& B_{13}\\ B_{21}& B_{22}& B_{23}\\ B_{31}& B_{32}& B_{33}\end{array}\right]}^T$

B এর সহগুণসমূহ :

$\begin{array}{cc}& B_{11}=\left|\begin{array}{cc}-2& -3\\ -5& 1\end{array}\right|=-2-15=-17\\ & B_{12}=-\left|\begin{array}{cc}5& -3\\ 3& 1\end{array}\right|=-(5+9)=-14\\ & B_{13}=\left|\begin{array}{cc}5& -2\\ 3& -5\end{array}\right|=-25+6=-19\\ & B_{21}=-\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ -5& 1\end{array}\right|=-(2-5)=3\\ & B_{22}=\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 1\end{array}\right|=(1+3)=4\end{array}$

$\begin{array}{cc}& B_{23}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -5\end{array}\right|=-(-5-6)=11\\ & B_{31}=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ -2& -3\end{array}\right|=-6-2=-8\\ & B_{32}=-\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 5& -3\end{array}\right|=-(-3+5)=-2\\ & B_{33}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& -2\end{array}\right|=-2-10=-12\end{array}$

$\therefore \text{ Adj }B={\left[\begin{array}{ccc}-17& -14& -19\\ 3& 4& 11\\ -8& -2& -12\end{array}\right]}^T$

$=\left[\begin{array}{ccc}-17& 3& -8\\ -14& 4& -2\\ -19& 11& -12\end{array}\right]$

$\therefore B^{-1}=\frac{1}{\left|B\right|}$ Adj $B=$

$=\frac{1}{-26}\left[\begin{array}{ccc}-17& 3& -8\\ -14& 4& -2\\ -19& 11& -12\end{array}\right]$

$=\frac{1}{26}\left[\begin{array}{ccc}17& -3& 8\\ 14& -4& 2\\ 19& -11& 12\end{array}\right]$

নির্ণেয়, $B^{-1}=\frac{1}{26}\left[\begin{array}{ccc}17& -3& 8\\ 14& -4& 2\\ 19& -11& 12\end{array}\right]$

দেওয়া আছে, $B=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 5& -2& -3\\ 3& -5& 1\end{array}\right];X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$

এবং $P=\left[\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 10\end{array}\right]$

$BX=P$ হলে,

$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 5& -2& -3\\ 3& -5& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 10\end{array}\right]$

বা, $\left[\begin{array}{c}x+2y-z\\ 5x-2y-3z\\ 3x-5y+z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 10\end{array}\right]$

ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে,

$x+2y-z=-3$

$5x-2y-3z=3$

$3x-5y+z=10$

এখন, $x,y,z$ এর সহগগুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক,

$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 5& -2& -3\\ 3& -5& 1\end{array}\right|$

$=1(-2-15)-2(5+9)-1(-25+6)$

$=-17-28+19=-26\ne 0$

$\therefore D_x=\left|\begin{array}{ccc}-3& 2& -1\\ 3& -2& -3\\ 10& -5& 1\end{array}\right|$

$=-3(-2-15)-2(3+30)-1(-15+20)$

$=51-66-5=-20$

$D_y=\left|\begin{array}{ccc}1& -3& -1\\ 5& 3& -3\\ 3& 10& 1\end{array}\right|$

$=1(3+30)+3(5+9)-1(50-9)$

$=33+42-41=34$

$D_z=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 5& -2& 3\\ 3& -5& 10\end{array}\right|$

$=1(-20+15)-2(50-9)-3(-25+6)$

$=-5-82+57=-30$

$\therefore x=\frac{D_x}{D}=\frac{-20}{-26}=\frac{10}{13}$, $y=\frac{D_y}{D}=\frac{34}{-26}=\frac{-17}{13}$ এবং $z=\frac{D_z}{D}=\frac{-30}{-26}=\frac{15}{13}$

নির্ণেয় সমাধান: $(x,y,z)=(\frac{10}{13},-\frac{17}{13},\frac{15}{13})$.