সৃজনশীলঃ ‘…’ বরিশাল বোর্ড ২০২১ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

AB রেখার সমীকরণ , $\frac{x-1}{1-0}=\frac{y-0}{0-4}$

বা, $x-1=-\frac{y}{4}$

বা$\text{ বা, }4x-4=-y$

$\therefore 4x+y-4=0..........\left(i\right)$

(i) নং রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ ,

$x-4y+k=0.....\left(ii\right)$

(ii) নং রেখাটি $C(-2,-1)$বিন্দুগামী,

বা,$-2-4.(-1)+k=0$

বা,$-2+4+k=0$

$\therefore k=-2$

$k$ এর মান বসিয়ে , $x-4y-2=0.......\left(iii\right)$

(i) ও (iii) নং সমীকরণ সমাধান করে,

$\frac{x}{-2-16}=\frac{y}{-4+8}=\frac{1}{-16-1}$

বা,$\frac{x}{-18}=\frac{y}{4}=\frac{1}{-17}$

$\therefore x=\frac{-18}{-17}=\frac{18}{17}$ এবং $y=\frac{4}{-17}=-\frac{4}{17}$

ইহাই নির্ণেয় স্থানাঙ্ক $(\frac{18}{17},-\frac{4}{17})$

“খ" হতে পাই ,

$4x+y-4=0$

বা, $4x-4=-y$

$\therefore y=-4x+4$

$\mathrm{AB}$ রেখার ঢাল $m_1=-4$

$(1,-1)$ বিন্দুগামী এবং m ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ,

$y+1=m(x-1)$

প্রশ্নমতে, $\tan \theta =\pm \left(\frac{m-(-4)}{1+m.(-4)}\right)$

বা,$\tan {45}^{\circ }=\pm \left(\frac{m+4}{1-4m}\right)$

$\therefore 1=\pm \left(\frac{m+4}{1-4m}\right)$

(+) নিয়ে পাই, $1=\frac{m+4}{1-4m}$

বা,$1-4m=m+4$

বা,$-4m-m=4-1$

বা,$-5m=3$

$\therefore m=\frac{-3}{5}$

m এর মান (i) সমীকরণে বসিয়ে পাই ,

$y+1=-\frac{3}{5}(x-1)$

বা,$5y+5=-3x+3$

$\therefore 3x+5y+2=0$

(-) নিয়ে পাই ,

$1=-\left(\frac{m+4}{1-4m}\right)$

বা,$1-4m=-m-4$

বা, $-4m+m=-4-1$

বা, $-3m=-5$

$\therefore m=\frac{5}{3}$

m এর মান (i) সমীকরণে বসিয়ে পাই ,

$y+1=\frac{5}{3}(x-1)$

বা,$3y+3=5x-5$

বা, $5x-5=3y+3$

$\therefore 5x-3y-8=0$

(ii) এর ঢাল নির্ণয়ঃ $3x+5y+2=0$

বা, $5y=-3x-2$

$\therefore y=-\frac{3}{5}x-\frac{2}{5}$

$\therefore$ ঢাল, $m_1=-\frac{3}{5}$

(iii) এর ঢাল নির্ণয়ঃ $5x-3y-8=0$

বা, $-3y=-5x+8$

$\therefore y=\frac{5}{3}x-\frac{8}{3}$

$\therefore$ঢাল $m_2=\frac{5}{3}$

$\therefore$ ঢালদ্বয়ের গুনফল $=m_1\times m_2$

$=-\frac{3}{5}\times \frac{5}{3}$

$=-1$

অতএব, রেখা দুইটি পরস্পর লম্ব ।