সৃজনশীলঃ ‘…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৩ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

চিত্রে মূলবিন্দু $O(0,0)$ এবং ধরি, $C(2,2)$

$OC=\sqrt{(2-0{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt{2}$

যেহেতু মূলবিন্দু হতে EF সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য $2\sqrt{2}$ এবং লম্বটি $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে ${45}^{\circ }$ কোণ উৎপন্ন করে।

$\therefore \mathrm{EF}$ সরলরেখার সমীকরণ, $x\cos {45}^{\circ }+y\sin {45}^{\circ }=2\sqrt{2}$

বা, $\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$

বা, $\frac{x+y}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ বা, $x+y=4$

$\therefore \frac{x}{4}+\frac{y}{4}=1$, এটি $X$-অক্ষকে $E(4,0)$ এবং $Y$-অক্ষকে $F(0,4)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

যেহেতু $P$ বিন্দুটি EF রেখাংশের সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয়ের একটি বিন্দু।

ধরি, $P$ বিন্দুটি $\mathrm{EF}$ রেখাংশকে $2:1$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

$\therefore P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=(\frac{2.0+1.4}{2+1},\frac{2.4+1.0}{2+1})=(\frac{4}{3},\frac{8}{3})$

$\therefore$ OP সরলরেখার সমীকরণ, $y=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{4}{3}}x$

বা, $y=2x\therefore 2x-y=0$

আবার, ধরি, $P$ বিন্দুটি EF রেখাংশকে $1:2$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

$\therefore P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=(\frac{1.0+2.4}{1+2},\frac{1.4+2.0}{1+2})=(\frac{8}{3},\frac{4}{3})$

$\therefore$ OP সরলরেখার সমীকরণ, $y=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{8}{3}}x$

বা, $y=\frac{1}{2}x$ বা, $x=2y\therefore x-2y=0$

নির্ণেয় OP রেখার সমীকরণ, $2x÷y=0;x-2y=0$.

চিত্রে নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র C(2,2)

এখানে, $\mathrm{OD}=3\sqrt{2}$

$\therefore OC=\sqrt{(2-0{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt{2}$

$\therefore$ বৃত্তের ব্যাসার, $\mathrm{CD}=\mathrm{OD}-\mathrm{OC}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$

$\therefore$ বৃত্তের সমীকরণ $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=(\sqrt{2}{)}^2$

বা, $x^2-4x+4+y^2-4y+4=2$

বা, $x^2+y^2-4x-4y+8-2=0$

$\therefore x^2+y^2-4x-4y+6=0$.

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2-4x-4y+6=0$.