সৃজনশীলঃ ‘…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৩ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, অধিবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু $A(4,0)$ এবং $A^{\prime }(-4,0)$

$\therefore x$- অক্ষ আড় অক্ষ এবং y-অক্ষ অনুবন্ধী অক্ষ।

ধরি, অধিবৃত্তটির সমীকরণ, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

শীর্ষ $(\pm a,0)$

$\therefore a=4$

উপকেন্দ্রদ্বয় $S^{\prime }(-50)$ এবং $S(5,0)$

$\therefore$ উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $=5-(-5)=5+5=10$ একক

আমরা জানি, উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 2ae

$\therefore 2\mathrm{ae}=10$

বা, $2\times 4\times e=10$

$\therefore e=\frac{5}{4}$

আবার, $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$

বা, $e^2=1+\frac{b^2}{a^2}$

বা, ${\left(\frac{5}{4}\right)}^2=1+\frac{b^2}{4^2}$

বা, $\frac{b^2}{16}=\frac{25}{16}-1=\frac{25-16}{16}=\frac{9}{16}$

বা, $b^2=9$

$\therefore b=3$

এখন $a$ ও b এর মান (1) নং সমীকরণ বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$

বা, $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

বা, $9x^2-16y^2=144$

নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ, $9x^2-16y^2=144$.

ধরি, উপবৃত্তের সমীকরণ,

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\dots \dots \dots ...\left(1\right)$ যেখানে $a>b$

এখানে, উপকেন্দ্র $A^{\prime }(-4,0)$ এবং $A(4,0)$

উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ${\mathrm{AA}}^{\prime }=4-(-4)=8$

আমরা জানি, নিয়ামকের সমীকরণ : $x=\pm \frac{a}{e}$

এখানে, নিয়ামকের সমীকরণ,

$5x-36=0$

বা, $x=\frac{36}{5}$

$\therefore \frac{a}{e}=\frac{36}{5}$ .......... (2)

আবার, ${\mathrm{AA}}^{\prime }=2\mathrm{ae}=8$ ....... (3)

(2) নং ও (3) নং সমীকরণ গুণ করে পাই,

$\frac{a}{e}\times 2ae=\frac{36}{5}\times 8$

বা, $2a^2=\frac{36}{5}\times 8$

বা, $a^2=\frac{144}{5}$ বা, $a=\sqrt{\frac{144}{5}}=\frac{12}{\sqrt{5}}$

আবার (2) নং কে (3) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{\frac{a}{e}}{2\mathrm{ae}}=\frac{\frac{36}{5}}{8}$

বা, $\frac{1}{2e^2}=\frac{36}{5}\times \frac{1}{8}$

বা, $e^2=\frac{40}{2\times 36}=\frac{5}{9}$

বা, $1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{5}{9}$

বা, $\frac{b^2}{a^2}=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{5}$

বা, $b^2=\frac{4}{5}\times a^2=\frac{4}{5}\times \frac{144}{5}$

বা, $b=\sqrt{\frac{576}{25}}=\frac{24}{5}$

$b^2=\frac{576}{25}$

এখন, $a$ ও b এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{{\left(\frac{12}{\sqrt{3}}\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(\frac{24}{5}\right)}^2}=1$

বা, $\frac{x^2}{\frac{144}{5}}+\frac{y^2}{\frac{576}{25}}$

$\therefore \frac{5x^2}{144}+\frac{25y^2}{576}=1$

নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{5x^2}{144}+\frac{25y^2}{576}=1$.