সৃজনশীলঃ ‘…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৪ – ত্রিকোণমিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

এখানে, মূলবিন্দু $O$ এবং $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x,y)$

 $POM$ সমকোণী ত্রিভুজের $\angle PMQ=$ এক সমকোণ

$\angle POM=\theta$

$OM=x,PM=y$

$\therefore OP=\sqrt{O{M}^2+P{M}^2}=\sqrt{x^2+y^2}$

$\frac{y}{x}=\frac{PM}{OM}=\tan \angle POM=\tan \theta$

এবং $\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x}=\frac{OP}{OM}=\sec \angle POM=\sec \theta$

এখন, $\frac{y}{x}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x}=a$ হলে

$\tan \theta +\sec \theta =a$

বা, $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }+\frac{1}{\cos \theta }=a[\because \tan \theta =\frac{\sin \theta }{\sec \theta }$ এবং $\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }]$

বা, $\frac{\sin \theta +1}{\cos \theta }=a$

বা, $\frac{(\sin \theta +1{)}^2}{{\cos }^2\theta }=a^2$ [বর্গ করে]

বা, $\frac{(1+\sin \theta {)}^2}{1-{\sin }^2\theta }=a^2[\because {\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta ]$

বা, $\frac{(1+\sin \theta )(1+\sin \theta )}{(1+\sin \theta )(1-\sin \theta )}=a^2$

বা, $\frac{1+\sin \theta }{1-\sin \theta }=a^2$

বা, $\frac{1+\sin \theta +1-\sin \theta }{1+\sin \theta -1+\sin \theta }=\frac{a^2+1}{a^2-1}$ [যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\frac{2}{2\sin \theta }=\frac{a^2+1}{a^2-1}$

বা, $\frac{1}{\sin \theta }=\frac{a^2+1}{a^2-1}$

বা, $\sin \theta =\frac{a^2-1}{a^2+1}$ [বিপরীতকরণ করে]

বা, ${\sin }^2\theta ={\left(\frac{a^2-1}{a^2+1}\right)}^2$ [পুনরায় বর্গ করে]

বা, $1-{\cos }^2\theta =\frac{{(a^2-1)}^2}{{(a^2+1)}^2}[\because {\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta ]$

বা, ${\cos }^2\theta =1-\frac{{(a^2-1)}^2}{{(a^2+1)}^2}$

বা, ${\cos }^2\theta =\frac{{(a^2+1)}^2-{(a^2-1)}^2}{{(a^2+1)}^2}$

বা, ${\cos }^2\theta =\frac{4a^2}{{(a^2+1)}^2}$ [বর্গমূল করে]

$\therefore \cos \theta =\frac{2a}{a^2+1}$. (প্রমাণিত)

এখানে, মূলবিন্দু $O$ এবং $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x,y)$

$POM$ সমকোণী ত্রিভুজের $\angle PMO=$ এক সমকোণ, $\angle POM=\theta$

$\mathrm{OM}=x,\mathrm{PM}=y$

$\frac{x}{y}=\frac{OM}{PM}=\cot \angle POM=\cot \theta$

এবং $\frac{Y}{X}=\frac{PM}{OM}=\tan \angle POM=\tan \theta$

এখন, $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{4}{\sqrt{3}}$ হলে,

$\cot \theta +\tan \theta =\frac{4}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{\cos \theta }{\sin \theta }+\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{4}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }{\sin \theta \cos \theta }=\frac{4}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{1}{\sin \theta \cos \theta }=\frac{4}{\sqrt{3}}[\because {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1]$

বা, $4\sin \theta \cos \theta =\sqrt{3}$.

বা, $16{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta =3$ [বর্গ করে]

বা, $16(1-{\cos }^2\theta ){\cos }^2\theta =3[\because {\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta ]$

বা, $16{\cos }^2\theta -16{\cos }^4\theta =3$

বা, $16{\cos }^4\theta -16{\cos }^2\theta +3=0$

বা, $16{\cos }^4\theta -12{\cos }^2\theta -4{\cos }^2\theta +3=0$

বা, $4{\cos }^2\theta (4{\cos }^2\theta -3)-1(4{\cos }^2\theta -3)=0$

বা, $(4{\cos }^2\theta -3)(4{\cos }^2\theta -1)=0$

হয়, $4{\cos }^2\theta -3=0$

বা, $4{\cos }^2\theta =3$

বা, ${\cos }^2\theta =\frac{3}{4}$

$\therefore \cos \theta =\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

অথবা, $4{\cos }^2\theta -1=0$

বা, $4{\cos }^2\theta =1$

বা, ${\cos }^2\theta =\frac{1}{4}$

$\therefore \cos \theta =\pm \frac{1}{2}$

কিন্তু $\cos \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ও $-\frac{1}{2}$ গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ $\theta$ হচ্ছে সূক্ষকোণ

$\therefore \cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\cos \theta =\cos \frac{\pi }{6}\therefore \theta =\frac{\pi }{6}$

$\cos \theta =\frac{1}{2}$

বা, $\cos \theta =\cos \frac{\pi }{3}\therefore \theta =\frac{\pi }{3}$

নির্ণেয় মান: $\theta =\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}$.