সৃজনশীলঃ ‘…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৫ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $C(6,-4)$ ও $D(8,2)$ বিন্দুগামী,

$\mathrm{CD}$ সরলরেখার ঢাল $=\frac{-4-2}{6-8}$

$=\frac{-6}{-2}=3$

$\therefore$ CD সরলরেখার সমীকরণ,

$y-y_1=m(x-x_1)$

বা, $y+4=3(x-6)$.

বা, $y+4=3x-18$

বা, $3x-y-22=0$ ....... (i)

$OP\perp CD$

$\therefore OP$ রেখার ঢাল $m$ হলে,

$m\cdot 3=-1$

বা, $m=\frac{-1}{3}$

OP রেখার সমীকরণ, $y=mx$

বা, $y=\frac{-1}{3}x$

বা, $x+3y=0$ ....... (ii)

(i) নং (ii) নং রেখার ছেদবিন্দুই হবে অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক।

(i) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুণ করে (ii) নং সমীকরণের সাথে যোগ করি,

{$\left[\right(i)\times 3]9x-3y-66=0$

$\left[\right(\mathrm{ii})\times 1]x+3y=0$

_______________________________

${(}^{\prime }{+}^{\prime }$ করে $)10x-66=0$ 

বা, $x=\frac{33}{5}$

(ii) নং সমীকরণে $x=\frac{33}{5}$ বসিয়ে পাই, $\frac{33}{5}+3y=0$

বা, $3y=\frac{-33}{5}$

বা, $y=\frac{-11}{5}$

$\therefore$ পাদবিন্দু $(\frac{33}{5},\frac{-11}{5})$

নির্ণেয় পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{33}{5},\frac{-11}{5})$.

দেওয়া আছে, AB রেখার সমীকরণ,

$2x+y+2=0$ ............ (i)

বা, $2x+y=-2$

বা, $\frac{x}{-1}+\frac{y}{-2}=1$

$\therefore AB$ রেখা $y$-অক্ষকে $B(0,-2)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

$B(0,-2),D(8,2)$

$AD||XO{X}^{\prime }$ বলে, A বিন্দুর কোটি $=D$ বিন্দুর কোটি $=2$

ধরি, A বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(a,2)$

আবার, (i) নং রেখাটি $A(a,2)$ বিন্দুগামী

$\therefore 2a+2+2=0$

বা, $2a=-4$

$\therefore a=-2$

$\therefore$ A বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-2,2)$

$\therefore A(-2,2),C(6,-4)$

ধরি, AC রেখাংশকে BD রেখা P বিন্দুতে $m:n$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

$\therefore P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=(\frac{6m-2n}{m+n},\frac{-4m+2n}{m+n})$

এখন, B, P ও D একই সরলরেখায় অবস্থিত বলে,

PB এর ঢাল $=\mathrm{BD}$ এর ঢাল

বা, $\frac{\frac{-4m+2n}{m+n}+2}{\frac{6m-2n}{m+n}-0}=\frac{2+2}{8-0}$

বা, $\frac{-4m+2n+2m+2n}{6m-2n}=\frac{1}{2}$

বা, $\frac{-2m+4n}{6m-2n}=\frac{1}{2}$

বা, $6m-2n=-4m+8n$

বা, $10m=10n$

বা, $\frac{m}{n}=\frac{1}{1}$

$\therefore m:n=1:1$

$\therefore AC$ রেখাংশকে BD সরলরেখা $1:1$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।