সৃজনশীলঃ ‘ব্যাসার্ধ OC=6.5 cm…’ রাজশাহী বোর্ড ২০১৯ – ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$△ABC-$ এ, $A+B+C=\pi$

এবং, $\angle B=\frac{\pi }{2}[\because$ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ ]

$\therefore A+C=\frac{\pi }{2}$

বামপক্ষ $={\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C$

$={\sin }^2(\frac{\pi }{2}-C)-{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C[\because A+C=\frac{\pi }{2}]$

$={\cos }^{2}C-{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C$

$=({\cos }^{2}C+{\sin }^{2}C)-{\sin }^{2}B$

$=1-{\sin }^2\frac{\pi }{2}[\because B=\frac{\pi }{2}]$

$=1-1=0=$ ডানপক্ষ।

$\therefore {\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=0.$ (প্রমাণিত)

উদ্দীপক হতে পাই, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $OC=6.5\text{ cm}$

$\therefore$ বৃত্তের ব্যাস, $AC=2\times OC=2\times 6.5\text{ cm}=13\text{ cm}$

দেওয়া আছে,

$BC=5\text{ cm}$

যেহেতু $AC$ বৃত্তের ব্যাস, সেহেতু $\angle ABC={90}^{\circ }$ (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ)।

সুতরাং, $△ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার অতিভুজ $AC$।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,

$A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$

$\Rightarrow A{B}^2=A{C}^2-B{C}^2$

$\Rightarrow A{B}^2=(13{)}^2-(5{)}^2$

$\Rightarrow A{B}^2=169-25=144$

$\therefore AB=\sqrt{144}=12\text{ cm}$

এখন,

সমকোণী $△ABC$-এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times$ ভূমি $\times$ লম্ব

$=\frac{1}{2}\times BC\times AB$

$=\frac{1}{2}\times 5\times 12{\text{ cm}}^2$

$=30{\text{ cm}}^2$

আবার, $AC$ ব্যাস বিশিষ্ট অর্ধবৃত্তটির ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\pi r^2$

$=\frac{1}{2}\times 3.1416\times (6.5{)}^2{\text{ cm}}^2$

$=\frac{1}{2}\times 3.1416\times 42.25{\text{ cm}}^2$

$=66.3663{\text{ cm}}^2$

$\therefore$ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল $=$ (অর্ধবৃত্তটির ক্ষেত্রফল) $-$ ($△ABC$-এর ক্ষেত্রফল)

$=(66.3663-30){\text{ cm}}^2$

$=36.3663{\text{ cm}}^2$

$\approx 36.37{\text{ cm}}^2$

নির্ণেয় ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল: $36.37{\text{ cm}}^2$ (প্রায়)