সৃজনশীলঃ ‘বক্ররেখার সমীকরণ :…’ আনন্দ মোহন কলেজ ২০২৬ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত বক্ররেখার সমীকরণ : $x^2+x{y}^2-3x^2+4x+5y+2=0$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$2x+y^2+2yx\frac{dy}{dx}-6x+4+5\frac{dy}{dx}=0$

বা, $2x-6x+y^2+\frac{dy}{dx}(2yx+5)+4=0$

বা, $-4x+y^2+4+\frac{dy}{dx}(2yx+5=0$

বা, $\frac{dy}{dx}(2xy+5)\sin 4x-y^2-4$

$\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{4x-y^2-4}{2xy+5}$

$(1,-1)$ বিন্দুতে $\frac{dy}{dx}=\frac{4\times 1-(-1{)}^2-4}{2\times 1\times (-1)+5}$

$=\frac{4-1-4}{-2+5}=\frac{-1}{3}$

$\therefore (1-1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, $y+1=\frac{dy}{dx}(x-1)$

 বা, $y+1=\frac{-1}{3}(x-1)$

বা, $3y+3=-x+1$

বা, $x+3y+3-1=0$

$\therefore x+3y+2=0$

আবার, $(1,-1)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ $y+1=\frac{-1}{\frac{dy}{dx}}(x-1)$

বা, $y+1=\frac{-1}{\frac{-1}{3}}(x-1)$

বা, $y+1=3(\dot{x}-1)$

বা, $y+l=3x-3$

বা, $3x-y-3-1=0$

$\therefore 3x-y-4=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ $x+3y+2=0$ এবং অভিলম্বের সমীকরণ $3x-y-4=0$

ধরি, $2x+5=t^2$

বা, $x=\frac{t^2-5}{2}$

বা, $\mathrm{dx}=\mathrm{tdt}$

দেওয়া আছে, $p\left(x\right)=2x+5$

$\therefore {\int }_0^1\frac{dx}{(2x+1)\sqrt{p\left(x\right)}}={\int }_0^1\frac{dx}{(2x+1)\sqrt{2x+5}}$

$={\int }_{\sqrt{5}}^{\sqrt{7}}\frac{tdt}{(t^2-4)t}$

$={\int }_{\sqrt{5}}^{\sqrt{7}}\frac{dt}{t^2-4}$

$={\int }_{\sqrt{5}}^{\sqrt{7}}\frac{dt}{(t-2)(t+2)}={\int }_{\sqrt{5}}^{\sqrt{7}}\frac{1}{4}(\frac{1}{t-2}-\frac{1}{t+2})dt$

$=\frac{1}{4}{\int }_{\sqrt{5}}^{\sqrt{7}}(\frac{1}{t-2}-\frac{1}{t+2})dt$

$=\frac{1}{4}[\ln |t-2|-\ln |t+2|]{\int }_{\sqrt{7}}^{\sqrt{5}}$

$=\frac{1}{4}[\ln \left|\frac{t-2}{t+2}\right|]{\int }_{\sqrt{5}}^{\sqrt{7}}$

$=\frac{1}{4}[\ln \left|\frac{\sqrt{7}-2}{\sqrt{7}+2}\right|-\ln \left(\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{3}+2}\right)]=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{7}+2)(\sqrt{5}-2)}\right|$

নির্ণেয় মান : $\frac{1}{4}\ln \left|\frac{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{7}+2)(\sqrt{5}-2)}\right|$.