সৃজনশীলঃ ‘বৃত্তের সমীকরণ :…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত বৃত্তদ্বয় : $x^2+y^2+6x+2y+6=0$ ............ (1)

এরং $x^2+y^2+8x+y+10=0$ ............. (2)

(1) ও (2) নং বৃত্তের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ,

$x^2+y^2+8x+y+10-(x^2+y^2+6x+2y+6)=0$

বা, $2x-y+4=0$ .......... (3)

(1) ও (3) নং এর ছেদবিন্দুগামী বৃত্ত :

$x^2+y^2+6x+2y+6+k(2x-y+4)=0$ ........... (4)

বা, $x^2+y^2+(6+2k)x+(2-k)y+(6+4k)=0$

কেন্দ্র $(\frac{-6-2k}{2},\frac{-2+k}{2})$

কেন্দ্র (3) নং রেখার উপর অবস্থিত হলে,

$2.\frac{-6-2k}{2}-\frac{-2+k}{2}+4=0$

বা, $-6-2k+\frac{2-k}{2}+4=0$

বা, $-12-4k+2-k+8=0$

বা, $-5k-2=0$ বা, $5k=-2$ বা, $k=-\frac{2}{5}$

(4) নং সমীকরণে $k=-\frac{2}{5}$ বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+6x+2y+6+\frac{-2}{5}(2x-y+4)=0$

বা, $5x^2+5y^2+30x+10y+30-4x+2y-8=0$

বা, $5x^2+5y^2+26x+12y+22=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, $5x^2+5y^2+26x+12y+22=0$.

এখানে,

$x^2+y^2+6x+2y+6=0$ ........... (1)

ধরি, $(-3,2)$ বিন্দু হতে (1) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল, $=m$

$\therefore$ স্পর্শকের সমীকরণ, $y-2=m(x+3)$

বা, $y=mx+3m+2$

$\therefore \mathrm{mx}-y+3m+2=0$ .......... (2)

(1) নং বৃত্তটির কেন্দ্র $(-\frac{6}{2},-\frac{2}{2})\equiv (-3,-1)$

এবং ব্যাসার্ধ, $r=\sqrt{(-3{)}^2+(-1{)}^2-6}=\sqrt{10-6}=\sqrt{4}=2$

কেন্দ্র $(-3,-1)$ থেকে (2) নং স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব বৃত্তটির ব্যাসার্ধের সমান।

$\therefore \frac{|-3m+1+3m+2|}{\sqrt{m^2+(-1{)}^2}}=2$

বা, $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{m^2+1}}=2$

বা, $2\sqrt{m^2+1}=|3|$

বা, $4(m^2+1)=9$

বা, $4m^2+4=9$ বা, $4m^2=9-4$ বা, $m^2=\frac{5}{4}$

$\therefore m=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

m এর মান (2)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$m=\frac{\sqrt{5}}{2}$ হলে, স্পর্শকের সমীকরণ

$\sqrt{5}x-2y+3\sqrt{5}+4=0$ .......... (3)

এবং $m=-\frac{\sqrt{5}}{2}$ হলে, স্পর্শকের সমীকরণ

$-\frac{\sqrt{5}}{2}x-y-3\frac{\sqrt{5}}{2}+2=0$

বা, $\sqrt{5}x+2y+3\sqrt{5}-4=0$ ......... (4)

এখন (3) নং ও (4) নং রেখার উপর লম্বই হবে নির্ণেয় অভিলম্বের সমীকরণ, (3) নং রেখার উপর লম্বের সমীকরণ

$2x+\sqrt{5}y+k=0\dots \dots \left(5\right)$ ইহা (-3,2) বিন্দুগামী।

$\therefore -6+2\sqrt{5}+k=0\therefore k=6-2\sqrt{5}$

$k$ এর মান (5) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$2x+\sqrt{5}y+6-2\sqrt{5}=0$

আবার (4) নং রেখার উপর লম্বের সমীকরণ, $2x-\sqrt{5}y+k=0$ ....... (6)

(6) নং রেখাটি $(-3,2)$ বিন্দুগামী

$\therefore -6-2\sqrt{5}+k=0$

$\therefore k=6+2\sqrt{5}$

$k$ এর মান (6) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$2x-\sqrt{5}y+6+2\sqrt{5}=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, $\sqrt{5}x-2y+3\sqrt{5}+4=0,\sqrt{5}x+2y+$$3\sqrt{5}-4=0$ এবং অভিলম্বের সমীকরণ, $2x+\sqrt{5}y+6-2\sqrt{5}=0$, $2x-\sqrt{5}y+6+2\sqrt{5}=0$