সৃজনশীলঃ ‘C=(121−120345),X=(x,y,z), D=(123)…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৫ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রশ্নমতে, ${\mathrm{CX}}^T=D^T$

বা, $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -1& 2& 0\\ 3& 4& 5\end{array}\right){\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}1& 2^{\prime }& 3\end{array}\right]}^T$

বা, $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -1& 2& 0\\ 3& 4& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

$\therefore \left(\begin{array}{c}x+2y+z\\ -x+2y+0\cdot z\\ 3x+4y+5z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে, $x+2y+z=1$,

$-x+2y+0\cdot z=2$ এবং

$3x+4y+5z=3$

$x,y$ ও $z$ এর সহগ গুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক,

$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -1& 2& 0\\ 3& 4& 5\end{array}\right|$

$=1(10-0)-2(-5-0)+1(-4-6)$

$=10+10-10=10$

এখন, $D_x=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 2& 0\\ 3& 4& 5\end{array}\right|$

$=1(10-0)-2(10-0)+1(8-6)$

$=10-20+2=-8$

$D_y=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& 2& 0\\ 3& 3& 5\end{array}\right|$

$=1(10-0)-1(-5-0)+1(-3-6)$

$=10+5-9=6$

$D_z=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -1& 2& 2\\ 3& 4& 3\end{array}\right|$

$=1(6-8)-2(-3-6)+1(-4-6)$

$=-2+18-10=6$

$\therefore x=\frac{D_x}{D}=\frac{-8}{10}=\frac{-4}{5},y=\frac{D_y}{D}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

এবং $z=\frac{D_z}{D}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

নির্ণেয় সমাধান, $(x,y,z)=(-\frac{4}{5},\frac{3}{5},\frac{3}{5})$

দেওয়া আছে, $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -1& 2& 0\\ 3& 4& 5\end{array}\right)$

$\therefore C^T={\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -1& 2& 0\\ 3& 4& 5\end{array}\right)}^T$

$=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 3\\ 2& 2& 4\\ 1& 0& 5\end{array}\right)$

$\therefore \left|C^T\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 3\\ 2& 2& 4\\ 1& 0& 5\end{array}\right|$

$=1(10-0)+1(10-4)+3(0-2)$

$=10+6-6=10$

$\therefore {\left(C^T\right)}^{-1}$ বিদ্যমান।

Adj $C^T={\left(\begin{array}{ccc}{C}_{11}^T& C_{12}^T& C^T{}_{13}^T\\ C_{21}^T& C_{22}^T& C^T{}_{23}^T\\ C_{31}^T& C_{32}^T& C^T{}_{33}\end{array}\right)}^T$

$C^T$ এর সহগুণকসমূহ:

$C^T{}_{11}=\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 0& 5\end{array}\right|$

$=10-0=10$

$C^T{}_{12}=-\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 5\end{array}\right|$

$=-(10-4)=-6$

$C^T{}_{13}=\left|\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 0\end{array}\right|$

$=0-2=-2$

$C^T{}_{21}=-\left|\begin{array}{cc}-1& 3\\ 0& 5\end{array}\right|$

$=-(-5-0)=5$

$C^T{}_{22}=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 5\end{array}\right|$

$=5-3=2$

$C^T{}_{23}=-\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right|$

$=-(0+1)=-1$

$C_{31}^T=\left|\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& 4\end{array}\right|$

$=-4-6=-10$

$C_{32}^T=-\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right|$

$=-(4-6)=2$

$C_{33}^T=\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 2\end{array}\right|$

$=2+2=4$

$Adj{C}^T={\left(\begin{array}{ccc}10& -6& -2\\ 5& 2& -1\\ -10& 2& 4\end{array}\right)}^T$

$=\left(\begin{array}{ccc}10& 5& -10\\ -6& 2& 2\\ -2& -1& 4\end{array}\right)$

$\therefore {\left(C^T\right)}^{-1}=\frac{1}{\left|C^T\right|}\mathrm{Adj}{C}^T$

$=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{ccc}10& 5& -10\\ -6& 2& 2\\ -2& -1& 4\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}\frac{10}{10}& \frac{5}{10}& \frac{-10}{10}\\ \frac{-6}{10}& \frac{2}{10}& \frac{2}{10}\\ \frac{-2}{10}& \frac{-1}{10}& \frac{4}{10}\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& -1\\ -\frac{3}{5}& \frac{1}{5}& \frac{1}{5}\\ -\frac{1}{5}& -\frac{1}{10}& \frac{2}{5}\end{array}\right)$

নির্ণেয় ${\left(C^T\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& -1\\ -\frac{3}{5}& \frac{1}{5}& \frac{1}{5}\\ -\frac{1}{5}& -\frac{1}{10}& \frac{2}{5}\end{array}\right)$