সৃজনশীলঃ ‘C→ ভেক্টরটি A→…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৪ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

যেসব রাশির মান এবং দিক উভয়ই আছে তাদেরকে ভেক্টর রাশি বা দিক রাশি বলে। দুটি ভেক্টর রাশির ডট গুণন একটি স্কেলার রাশি এবং ক্রস গুণন ভেক্টর রাশি হয়। কাজের সংজ্ঞানুসারে আমরা জানি, কাজ হলো সরণের দিকে বলের উপাংশ × সরণ অথবা বল × বলের দিকে সরণের উপাংশের গুণফল। অর্থাৎ $W=\mathrm{FS}\cos \theta$। বল ও সরণ উভয়ই দিক রাশি হওয়ায় দিক রাশির স্কেলার গুণফলের সংজ্ঞানুসারে
$W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{S}$. যেহেতু দুটি দিক রাশির স্কেলার গুণফল একটি স্কেলার রাশি, তাই বল ও সরণের গুণফল একটি স্কেলার রাশি। সুতরাং বলা যায়, বল ও সরণ ভেক্টর রাশি হলেও কাজ স্কেলার রাশি।

এখানে, $\overrightarrow{A}=-\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{B}=2\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}$

উদ্দীপক অনুসারে, $\overrightarrow{C}$ ভেক্টরটি $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ ভেষ্টরের উপর লম্ব।

$\overrightarrow{C}$ বরাবর একক ভেক্টর, $\hat{\eta }=\frac{\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|}=$ ?

এখন, $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ -1& -3& 2\\ 2& -2& -2\end{array}\right|$$=i(6+4)-\hat{j}(2-4)+\hat{k}(2+6)=10\hat{i}+2\hat{j}+8\hat{k}$

$\therefore |\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|=\sqrt{(10{)}^2+2^2+8^2}=\sqrt{168}=2\sqrt{42}$

অর্থাৎ, $\hat{\eta }=\frac{\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|}=\frac{10\hat{i}+2\hat{j}+8\hat{k}}{2\sqrt{42}}=\frac{2(5\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k})}{2\sqrt{42}}=\frac{5\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}}{\sqrt{42}}$

অতএব, ভেক্টর $\overrightarrow{C}$ বরাবর একক ভেষ্টর $\frac{5i+j+4k}{\sqrt{42}}$.

এখানে, $\overrightarrow{A}=-\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k};\overrightarrow{B}=2\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}$

এবং $\overrightarrow{C}=\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=10\hat{i}+2\hat{j}+8k$ ['গ' হতে পাই]

এখন, উদ্দীপকের $△\mathrm{OMN}$ হতে,

$\overrightarrow{R}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{B}=10\hat{i}+2\hat{j}+8\hat{k}-2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$
$=8\hat{i}+4\hat{j}+10\hat{k}$

উদ্দীপকের $△\mathrm{ONL}$ হতে,

$\overrightarrow{P}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}=-\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}-2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$
$=-3\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}$

এবং উদ্দীপকের $△OLM$ হত্তে

$\overrightarrow{Q}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}=10\hat{i}+2\hat{j}+8\hat{k}+\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$
$=1\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}$

এখন, $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}=-3\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}+11\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}=8\hat{i}+4\hat{j}+10\hat{k}$

অর্থাৎ, $\overrightarrow{R}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}=8\hat{i}+4\hat{j}+10\hat{k}$

উদ্দীপক অনুযায়ী  গাণিতিকভাবে $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}=\overrightarrow{R}$ যাচাই করা হলো।