সৃজনশীলঃ ‘…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৭ – ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $\mathrm{ABC}$ ত্রিভুজে $A+B+C={180}^{\circ }$

$\frac{1}{\sec A}=\frac{1}{\mathrm{cosec}C}-\frac{1}{\sec B}$

বা, $\cos A=\sin C-\cos B$

বা, $\cos A+\cos B=\sin C$

বা, $2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)=2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$

বা, $\cos ({90}^{\circ }-\frac{C}{2})\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)=\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$

বা, $\sin \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2}=\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$

$[\because A+B+C={180}^{\circ }]$

বা, $\cos \frac{A-B}{2}=\cos \frac{C}{2}$

বা, $\frac{A-B}{2}=\frac{C}{2}$

বা, $A-B=C$

বা, $A=13+C$

বা, $A+A=A+B+C$

বা, $2A={180}^{\circ }$

বা, $A=\frac{{180}^{\circ }}{2}={90}^{\circ }$

$\therefore \mathrm{ABC}$ ত্রিভুজের A কোণটি সমকোণ।

PEF বৃত্তকলার ব্যাসার্ধ,

$r=PE=PF=4$ সে.মি.

$\mathrm{EQ}=4$ সে.মি.

$FR=4$ সে.মি.

$\mathrm{RQ}=8$ সে.মি.

$PR=PF+FR$

$=(4+4)$ সে.মি.

= 8 সে.মি. = PQ = PE + EQ = (4+4) সে.মি. = 8 সে.মি.

$PRQ$ ত্রিভুজের বাহু, $a=PQ=QR=PR=8$ সে.মি.

$\therefore PQR$ ত্রিভুজটি সমবাহু ত্রিভুজ

$\therefore \mathrm{PQR}$ ত্রিভুজে $\angle \mathrm{QPR}=\angle \mathrm{PQR}=\angle \mathrm{PRQ}={60}^{\circ }$

$\therefore \angle \mathrm{EPF}=\angle \mathrm{QPR}={60}^{\circ }$

$\therefore$ PEF বৃত্তকলার কেন্দ্র উৎপন্ন কোণ, $\theta =\angle \mathrm{EPF}={60}^{\circ }$

$=60\times \frac{\pi }{180}$ রেডিয়ান

$=\frac{\pi }{3}$ রেডিয়ান

PQR  ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 8^2$ বর্গ সে.মি.

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 64$ বর্গ সে.মি.

 =27.71281 বর্গ সে. মি. (প্রায়) 

PEF ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}{r}^2\theta$

$=\frac{1}{2}\times 4^2\times \frac{\pi }{3}$ বর্গ সে. মি.

$=\frac{1}{2}\times 16\times \frac{\pi }{3}$ বর্গ সে. মি, 

=8.37758 বর্গ সে.মি.

$\therefore$ EQRF এলাকার ক্ষেত্রফল =(27.71281-8.37758)  বর্গ সে. মি.

= 19.335 বর্গ সে. মি. (প্রায়)

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 19.335 সে.মি. (প্রায়)।