সৃজনশীলঃ ‘…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৯ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

মনেকরি, $O(0,0)$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $r$ একক

$\therefore$ বৃত্তটির সমীকরণ, $(x-0{)}^2+(y-0{)}^2=r^2$

বা, $x^2+y^2=r^2........\left(i\right)$

(i) নং বৃত্তটি $N(2,0)$ বিন্দুগামী বলে, $4+0=r^2$

বা, $r^2=4$

$\therefore$ বৃত্তটির সমীকরণ, $x^2+y^2=4$

$\therefore P(1,\sqrt{3})$ বিন্দুতে, বৃত্তটির স্পর্শকের সমীকরণ,

$x.1+y\cdot \sqrt{3}=4$

বা, $x+\sqrt{3}y=4$

অভিলম্বের সমীকরণ, $y.1-\sqrt{3}\cdot x=0$

বা, $y-\sqrt{3}x=0$

নির্নেয় স্পর্শকের সমীকরণ $x+\sqrt{3}y=4$ এবং অভিলম্বের সমীকরণ $y-\sqrt{3}x=0$

$ABN$ বৃত্তটির কেন্দ্র $C(2,-3)$ এবং এটি $x$ অক্ষকে স্পর্শ করায় বৃত্তটির সমীকরণ, $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=$$3^2$

বা, $x^2+y^2-4x+6y+4=0.........\left(ii\right)$

এখানে, $g=-2,f=3,c=4$

মনেকরি, $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,-y_1)$

$B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,-y_2)$

ABN বৃত্তটি দ্বারা $y$ অক্ষের খন্ডিতাংশের পরিমাণ,

$AB=OB-OA=y_2-y_1=2\sqrt{f-c}$

বা, $y_2-y_1=2\sqrt{9-4}=2\sqrt{5}.......\left(iii\right)$

আবার, (ii) নং বৃত্তটি $A$ ও $B$ বিন্দু দিয়ে যায়,

$\therefore 0+y_1^2-0-6y_1+4=0$

বা, $y_1^2-6y_2+4=0..........\left(iv\right)$

এবং $0+y_2^2-0-6y_2+4=0$

বা, $y_2^2-6y_2+4=0........\left(v\right)$

(v) নং হতে (iv) নং বিয়োগ করে পাই,

$y_2^2-y_1^2-6y_2+6y_1=0$

বা, $(y_2+y_1)(y_2-y_1)-6(y_2-y_1)=0$

বা, $(y_2-y_1)\times 2\sqrt{5}-6\times 2\sqrt{5}=0$

বা, $(y_2-y_1)\times 2\sqrt{5}-6\times 2\sqrt{5}$

বা, $y_2+y_1=\frac{6\times 2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$

$\therefore y_2+y_1=6\dots \dots \left(vi\right)$

(iii) নং ও (vi) নং যোগ করে পাই,

$2y_2=2\sqrt{5}+6$

বা, $y_2=3+\sqrt{5}$

(vi) নং ও (iii) নং যোগ করে পাই,

$2y_1=6-2\sqrt{5}$

বা, $y_1=3-\sqrt{5}$

$\therefore A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=(0,-(3-\sqrt{5}\left)\right)=(0,-3+\sqrt{5})$

এবং $B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=(0,-(3+\sqrt{5}\left)\right)=(0,-3-\sqrt{5})$

নিণেয় $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,-3+\sqrt{5})$ এবং $B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,-3-\sqrt{5})$