সৃজনশীলঃ ‘…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৯ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $ABC$ ত্রিভুজের বাহুত্রয়, $BC=a=\sqrt{b^2+bc+c^2}$

$AB=c$

$CA=b$

আমরা জানি, বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তম হয়।

$\therefore \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$=\frac{b^2+c^2-b^2-bc-c^2}{2bc}=-\frac{bc}{2bc}=-\frac{1}{2}=\cos {120}^{\circ }$

$\therefore A={120}^{\circ }$

সুতরাং, ত্রিভূজটি স্থুলকণী ত্রিভূজ।

$\therefore$ ত্রিভুজটির সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি, $\angle B+\angle C={180}^{\circ }-\angle A$$={180}^{\circ }-{120}^{\circ }={60}^{\circ }$

নির্ণেয় ত্রিভূজটির সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি ${60}^{\circ }$

$ABC$ ত্রিভূজের ক্ষেত্রে, $\angle A+\angle B+\angle C={180}^{\circ }$

বামপক্ষ $=\frac{a-b}{c}\mathrm{cosec}\frac{A-B}{2}$

$=\frac{2R\sin A-2R\sin B}{2R\sin C}\times \frac{1}{\sin \frac{A-B}{2}}$

$=\frac{\sin A-\sin B}{\sin C}\times \frac{1}{\sin \frac{A-B}{2}}$

$=\frac{2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}}{2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}}\times \frac{1}{\sin \frac{A-B}{2}}$

$=\frac{\cos \frac{{180}^{\circ }-C}{2}}{\sin \frac{C}{2}}\sec \frac{C}{2}$

$=\frac{\sin \frac{C}{2}}{\sin \frac{C}{2}}\sec \frac{C}{2}=\sec \frac{C}{2}=$ ডানপক্ষ

$\therefore \frac{a-b}{c}\mathrm{cosec}\frac{A-B}{2}=\sec \frac{C}{2}$ (প্রমাণিত)