সৃজনশীলঃ ‘…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২২ – ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$\begin{array}{cc}\text{ L.H.S }=& {\cos }^{2}A-{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C\\ & ={\cos }^{2}A+{\cos }^{2}C-{\cos }^{2}B\\ & =\frac{1}{2}(1+\cos 2A+1+{\cos }^{2}B)[2{\cos }^{2}A=1+\cos 2A]-{\cos }^{2}B\\ & =\frac{1}{2}(2+\cos 2A+\cos 2C)-{\cos }^{2}B\\ & =1+\frac{1}{2}(\cos 2A+\cos 2C)-{\cos }^{2}B\\ & =1+1/2\cos \frac{2A+2C}{2}\cos \frac{2A-2C}{2}-\cos 2B\\ & =1+\cos (A+C)\cos (A-C)-\cos 2\\ & =2\cos \frac{C+D}{2}\cos \frac{C-1}{2}\\ & =1+\cos (A-B)\cos (A-C)-\cos B\\ & =1-\cos B[\cos (A-C)+\cos B]\\ & =1-\cos B[\cos (A-C)+\cos [\pi -(A+C)]\\ =& 1-\cos B[\cos (A-C)-\cos (A+C\left)\right]\\ =& 1-\cos B\times 2\sin A\sin C\\ =& 1-2\cos (A-B)-\cos (A+B)\\ & =1-2\sin A\cos B\sin C\end{array}$

(Proved)

এখানে,

$a=4,b=$, , $c=3$

ত্রিভুজটির, $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

$\Rightarrow \cos \frac{\pi }{15}=\frac{4^2+3^2-b^2}{2\times 4\times 3}$

$\Rightarrow b^2=4^2+3^2-24\cos \frac{\pi }{15}$

$b=\sqrt{4^2+3^2-24\cos \frac{\pi }{15}}=1.23468$

$\cos c=\frac{b^2+a^2=c^2}{2ab}=\frac{(1.23468{)}^2+4^2-3^2}{2\times 1.23468\times 4}$

$\Rightarrow c={\cos }^{-1}\left(\frac{(1.23468{)}^2+4^2-3^2}{2\times 1.23468\times 4}\right)$

$={30.5}^{\circ }=30.5\times \frac{\pi }{180}=\frac{30.5{\pi }^c}{180}$

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{(1.23468{)}^2+3^2-4^2}{2\times 1.23468\times 3}$

$\Rightarrow A={\cos }^{-1}\frac{(1.23468{)}^2+3^2-4^2}{2\times 1.23468\times 3}$

$={137.5}^{\circ }=137.5\times \frac{\pi }{180}=\frac{137.5\pi }{180}$ Ans.

পরিসীমা $=a+b+c=4+1.23468+3=8.2346$

ক্ষেত্রফল$=\frac{1}{2}ac\sin B$

$=\frac{1}{2}\times 4\times 3\times \sin \frac{\pi }{15}$

$=6\sin {12}^{\circ }$

= 1.247 বর্গ একক (Ans)

$\therefore$ ত্রিভুজটির উচ্চতা,

$h=3\sin \frac{\pi }{15}[\because \sin \frac{\pi }{15}=\frac{h}{3}]$

$=3\sin {12}^{\circ }$

$=0.62373$ একক (Ans)

তিনটি কোন ${12}^{\circ },{30.5}^{\circ },{137.5}^{\circ }$

তিনটি বাহু 3,4,1.234689 একক পরিসীমা 8.234689 একক

উচ্চতা 0.62373 একক

ক্ষেত্রফল 1.2474 একক