সৃজনশীলঃ ‘…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

চিত্র হতে, $\sin \theta =\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{y}{1}=y$

$\therefore \theta ={\sin }^{-1}y$

এবং $\sin \alpha =\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{x}{1}=x$

$\therefore \alpha ={\sin }^{-1}x$

এখানে,

$\alpha +\theta =\frac{\pi }{2}$

বা, ${\sin }^{-1}x+{\sin }^{-1}y=\frac{\pi }{2}$

বা, ${\sin }^{-1}x=\frac{\pi }{2}-{\sin }^{-1}y$

বা, $x=\sin (\frac{\pi }{2}-{\sin }^{-1}y)$

বা, $x=\cos ({\sin }^{-1}y)$

বা, $x=\cos ({\cos }^{-1}\sqrt{1-y^2})$

বা, $x=\sqrt{1-y^2}$

বা, $x^2=1-y^2$ [বর্গ করে]

$\therefore x^2+y^2=1$. (দেখানো হলো)

চিত্র হতে,

$\sin \theta =\frac{AB}{AC}=\frac{y}{1}=y$

$\therefore \sin \theta =y$

$\cos \theta =\frac{BC}{AC}=\frac{x}{1}=x$

$\therefore \cos \theta =x$

এখানে, $x+y=\sqrt{2}$

বা, $\cos \theta +\sin \theta =\sqrt{2}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta +\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta =1[\because$ উভয়পক্ষকে $\sqrt{2}$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\cos \frac{\pi }{4}\cos \theta +\sin \frac{\pi }{4}\sin \theta =1$

বা, $\cos \theta \cos \frac{\pi }{4}+\sin \theta \sin \frac{\pi }{4}=1$

বা, $\cos (\theta -\frac{\pi }{4})=1$

বা, $\theta -\frac{\pi }{4}=2n\pi ;n\in Z$

$\therefore \theta =2n\pi +\frac{\pi }{4}$

$n=0$ হলে, $\theta =\frac{\pi }{4}$

$n=-1$ হলে, $\theta =-2\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{7\pi }{4}$

$n=1$ হলে, $\theta =2\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$ কিন্তু ইহা গ্রহণযোগ্য নয়;

$$ কেননা $-2\pi <\theta <2\pi$

$n=2$ হলে, $\theta =-4\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{15\pi }{4}$ কিন্তু ইহা গ্রহণযোগ্য নয়;

$$কেননা $-2\pi <\theta <2\pi$

$\therefore -2\pi <\theta <2\pi$ ব্যবধিতে, $\theta =-\frac{7\pi }{4},\frac{\pi }{4}$

নির্ণেয় সমাধান : $\theta =-\frac{7\pi }{4},\frac{\pi }{4}$.