সৃজনশীলঃ ‘…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

মনে করি, বৃত্তে অন্তর্লিখিত QPSR চতুভুর্জের কর্ণদ্বয় QS ও PR পরস্পরকে লম্বভাবে T বিন্দুতে ছেদ করে। T হতে PS বাহুর উপর TM লম্ব এবং বর্ধিত MT বিপরীত QR বাহুকে N বিন্দুতে ছেদ করে ।

প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{QN}=\mathrm{RN}$.

প্রামণ : একই চাপ SR এর উপর দণ্ডায়মান বলে $\angle \mathrm{SPR}=\angle \mathrm{SQR}$

অর্থাৎ, $\angle \mathrm{SPT}=\angle \mathrm{TQN}$

আবার, $\angle \mathrm{SPT}=\angle \mathrm{STM}$ [উভয়ে একই $\angle \mathrm{PTM}$ এর পূরক কোণ বলে]

সুতরাং $\angle \mathrm{TQN}=\angle \mathrm{NTQ}$

ফলে $△\mathrm{QNT}$ ত্রিভুজে $\mathrm{QN}=\mathrm{NT}$

অনুরূপভাবে দেখানো যায়, $\angle \mathrm{NRT}=\angle \mathrm{PST}=\angle \mathrm{PTM}=\angle \mathrm{RTN}$

ফলে, RNT ত্রিভুজে RN $=$ NT

সুতরাং QN = RN. (প্রমাণিত)

এখানে, এ$△\mathrm{TSP}-এ\angle \mathrm{STP}={90}^{\circ }$ এবং $\mathrm{TM}\perp \mathrm{SP}$ ।

প্রমাণ করতে হবে যে, ${\mathrm{TM}}^2=\mathrm{PM}.\mathrm{SM}$

প্রমাণ: $\angle \mathrm{STP}={90}^{\circ }$

$\therefore \angle \mathrm{STM}+\angle \mathrm{MTP}={90}^{\circ }$ ........ (i)

আবার, $\mathrm{TM}\perp \mathrm{SP}$ বলে,

$\angle \mathrm{TMS}=\angle \mathrm{TMP}={90}^{\circ }$

$\Delta \mathrm{STM}-\Omega ,\angle \mathrm{TMS}+\angle \mathrm{STM}+\angle \mathrm{TSM}={180}^{\circ }$

[ ∵ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ${180}^{\circ }$ ]

বা, ${90}^{\circ }+\angle \mathrm{STM}+\angle \mathrm{TSM}=180[\because \angle \mathrm{TMS}={90}^{\circ }]$

বা, $\angle \mathrm{STM}+\angle \mathrm{TSM}={90}^{\circ }$ ........ (ii)

(i) ও (ii) নং হতে পাই,

$\angle \mathrm{STM}+\angle \mathrm{MTP}=\angle \mathrm{STM}+\angle \mathrm{TSM}$

$\angle \mathrm{MTP}=\angle \mathrm{TSM}$

$△\mathrm{TSM}$ ও $△\mathrm{TPM}-$ এ

$\angle \mathrm{TMS}=\angle \mathrm{TMP},\angle \mathrm{TSM}=\angle \mathrm{MTP}$

অবশিষ্ট $\angle \mathrm{STM}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{TPM}$

$\therefore △\mathrm{TSM}$ ও $△\mathrm{TPM}$ সদৃশ

$\therefore \frac{\mathrm{ST}}{\mathrm{TP}}=\frac{\mathrm{TM}}{\mathrm{PM}}=\frac{\mathrm{SM}}{\mathrm{TM}}$

অর্থাৎ, $\frac{\mathrm{TM}}{\mathrm{PM}}=\frac{\mathrm{SM}}{\mathrm{TM}}$

$\therefore {\mathrm{TM}}^2=\mathrm{PM}.\mathrm{SM}$ (প্রমাণিত)