সৃজনশীলঃ ‘…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখানে, এ$△PQR-এ,\alpha +\beta +\gamma =\pi$

বামপক্ষ $={\sin }^2\alpha -{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma$

$=(\sin \alpha +\sin \beta )(\sin \alpha -\sin \beta )+{\sin }^2\gamma$

$=(2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2})\cdot (2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2})+{\sin }^2\gamma$

$=(2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2})\cdot (2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2})+{\sin }^2\gamma$

$=\sin (\alpha +\beta )\sin (\alpha -\beta )+{\sin }^2\gamma$

$=\sin (\pi -\gamma )\sin (\alpha -\beta )+{\sin }^2\gamma [\because \alpha +\beta +\gamma =\pi ]$

$=\sin \gamma \sin (\alpha -\beta )+{\sin }^2\gamma$

$=\sin \gamma \{\sin (\alpha -\beta )+\sin \gamma \}$

$=\sin \gamma [\sin (\alpha -\beta )+\sin \{\pi -(\alpha +\beta )\left\}\right][\because \alpha +\beta +\gamma =\pi ]$

$=\sin \gamma \{\sin (\alpha -\beta )+\sin (\alpha +\beta \left)\right\}$

$=\sin \gamma \cdot 2\sin \alpha \cos \beta =2\sin \alpha \cos \beta \cdot \sin \gamma =$ ডানপক্ষ

$\therefore {\sin }^2\alpha -{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma =2\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma$. (প্রমাণিত)

এখানে, এ$△PQR-এP+Q+R=\pi$

এখন, $\cos P=\sin Q-\cos R$ হলে, $\cos P+\cos R=\sin Q$

বা, $2\cos \frac{P+R}{2}\cdot \cos \frac{P-R}{2}=\sin Q$

বা, $2\cos \frac{\pi -Q}{2}\cdot \cos \frac{P-R}{2}=\sin Q[\because P+Q+R=\pi ]$

বা, $2\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{Q}{2})\cdot \cos \frac{P-R}{2}=\sin (2\cdot \frac{Q}{2})$

বা, $2\sin \frac{Q}{2}\cdot \cos \frac{P-R}{2}=2\sin \frac{Q}{2}\cdot \cos \frac{Q}{2}$

বা, $\cos \frac{P-R}{2}=\cos \frac{Q}{2}$

বা, $\frac{P-R}{2}=\frac{Q}{2}$

বা, $P-R=Q$

বা, $P=Q+R$

বা, $P=\pi -P[\because P+Q+R=\pi ]$

বা, $P+P=\pi$

বা, $2P=\pi$

$\therefore P=\frac{\pi }{2}$

যেহেতু PQR ত্রিভুজের P কোণ সমকোণ।

সুতরাং, PQR ত্রিভুজটি সমকোণী। (দেখানো হলো)