সৃজনশীলঃ ‘…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ABC ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র H, বর্ধিত AH রেখা BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে।

এখন, B ও C বিন্দুতে ক্রিয়ারত $S$ ও T বলদ্বয়ের লব্ধি BC রেখার উপরম্প কোন একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

আবার, বল তিনটির লব্ধি $(R+S+T),H$ বিন্দুতে এবং $R$ বলটি $A$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে। কাজেই $S$ এবং $T$ এর লব্ধি $(S+T)$ বলটি $\mathrm{BC}$ এবং AHD রেখার ছেদবিন্দু D তে ক্রিয়া কররে।

S. $\mathrm{BD}=T$. CD

বা, $\frac{S}{T}=\frac{CD}{BD}=\frac{CD/AD}{BD/AD}=\frac{\cot C}{\cot B}=\frac{\tan B}{\tan C}$

বা, $\frac{S}{T}=\frac{\tan B}{\tan C}$

বা, $\frac{S}{\tan B}=\frac{T}{\tan C}$

অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে, $\frac{R}{\tan A}=\frac{S}{\tan B}$

তাহলে (1) ও (2) নং হতে পাই, $\frac{R}{\tan A}=\frac{S}{\tan B}=\frac{T}{\tan C^{\prime }}$ (প্রমাণিত)

0 বিন্দুতে ক্রিয়াশীল বলগুলো ABC সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর সমান্তরাল বরাবর ক্রিয়া করে।

ধরি, লব্ধি $R,6N$ বলের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে। $6N$ বল বরাবর লম্বাংশ উপপাদ্য অনুসারে,

$R\cos \theta =6\cos 0^{\circ }+8\cos {120}^{\circ }+10\cos {240}^{\circ }$

বা, $R\cos \theta =6\cdot 1+8\left(\frac{-1}{2}\right)+10\cdot \left(\frac{-1}{2}\right)$

বা, $R\cos \theta =6-4-5$

$\therefore R\cos \theta =-3$ ....... (i)

এবং $R\sin \theta =6\sin 0^{\circ }+8\sin {120}^{\circ }+10\sin {240}^{\circ }$

বা, $R\sin \theta =6\cdot 0+8\frac{\sqrt{3}}{2}+10\cdot \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)=0+4\sqrt{3}-5\sqrt{3}$

$\therefore R\sin \theta =-\sqrt{3}$ ........ (ii)

(i) নং (ii) নং কে বর্গ করে যোগ করি, $R^2,{\cos }^2\theta +R^2{\sin }^2\theta =9+3$

বা, $R^2.({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=12$ বা, $R^2=12\therefore R=2\sqrt{3}$

নির্ণেয় লব্ধি $2\sqrt{3}$ একক।