সৃজনশীলঃ ‘…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৪ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

চিত্রানুযায়ী, $△\mathrm{AEF}$ এর $\angle A=$ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ $={90}^{\circ }$ বলে $△\mathrm{AEF}$ সমকোণী ত্রিভুজ এবং $\mathrm{AD}\perp \mathrm{EF}$

প্রমাণ করতে হবে যে, ${\mathrm{AD}}^2=\mathrm{DE}.\mathrm{DF}$.

প্রমাণ: $\angle \mathrm{FAE}={90}^{\circ }$

$\therefore \angle \mathrm{EAD}+\angle \mathrm{DAF}={90}^{\circ }$

আবার, $\mathrm{AD}\perp \mathrm{EF}$ বলে $\angle \mathrm{EDA}=\angle \mathrm{ADF}={90}^{\circ }$

$△\mathrm{EAD}$ 、 $\angle \mathrm{EDA}+\angle \mathrm{EAD}+\angle \mathrm{AED}={180}^{\circ }$

বা, ${90}^{\circ }+\angle \mathrm{EAD}+\angle \mathrm{AED}={180}^{\circ }$

$\therefore \angle \mathrm{EAD}+\angle \mathrm{AED}={90}^{\circ }$

(i) নং এবং (ii) নং হতে পাই, $\angle \mathrm{EAD}+\angle \mathrm{DAF}=\angle \mathrm{EAD}+\angle \mathrm{AED}$

$\therefore \angle \mathrm{DAF}=\angle \mathrm{AED}$

এখন, $△\mathrm{EAD}$ এবং $△\mathrm{ADF}$ এ $\angle \mathrm{EDA}=\angle \mathrm{ADF},\angle \mathrm{AED}=\angle \mathrm{DAF}$

অবশিষ্ট $\angle \mathrm{EAD}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{DFA}$

$\therefore △\mathrm{EAD}$ এবং $△\mathrm{ADF}$ সদৃশকোণী।

$\therefore \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DF}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}$

অর্থাৎ, $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DF}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}$

$\therefore {\mathrm{AD}}^2=\mathrm{DE}\cdot \mathrm{DF}$ (প্রমাণিত)

বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, EF ব্যাসের ওপর EFAB একটি অর্ধবৃত্ত। EA ও FB জ্যাদ্বয় পরস্পর C বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, ${\mathrm{EF}}^2=\mathrm{AE}\cdot \mathrm{CE}+\mathrm{BF}\cdot \mathrm{CF}$ ।

অঙ্কন : A, B যোগ করি।

প্রমাণ : $△\mathrm{ACB}$ ও $△\mathrm{ECF}$-এ

$\angle \mathrm{CBA}=\angle \mathrm{CEF}$ [একই চাপ AF -এর ওপর অবস্থিত]

এবং $\angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{ECF}$ [বিপ্রতীপ কোণ বলে]

অবশিষ্ট $\angle \mathrm{CAB}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{CFE}$

ত্রিভুজ দুইটি সদৃশকোণী তথা সদৃশ।

$\therefore \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AC}}$ বা, CE.AC $=\mathrm{CF}\cdot \mathrm{BC}$.

বা, $\mathrm{CE}\cdot \mathrm{AC}+{\mathrm{CE}}^2=\mathrm{CF}\cdot \mathrm{BC}+{\mathrm{CE}}^2$ [উভয়পক্ষে ${\mathrm{CE}}^2$ যোগ করে]

বা, $\mathrm{CE}(\mathrm{AC}+\mathrm{CE})=\mathrm{CF}\cdot \mathrm{BC}+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{BE}}^2$

[EF ব্যাস বলে $\angle \mathrm{EBC}=\angle \mathrm{EBF}={90}^{\circ };\therefore {\mathrm{CE}}^2={\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{BC}}^2$ ]

বা, $\mathrm{CE}\cdot \mathrm{AE}=\mathrm{BC}(\mathrm{CF}+\mathrm{BC})+{\mathrm{BE}}^2$

বা, $\mathrm{CE}\cdot \mathrm{AE}=\mathrm{BC}\cdot \mathrm{BF}+{\mathrm{EF}}^2-{\mathrm{BF}}^2$

$[\angle \mathrm{EBF}={90}^{\circ }$ বলে $△\mathrm{EFB}-$ এ ${\mathrm{EF}}^2={\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{BF}}^2,\therefore {\mathrm{CE}}^2={\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{BC}}^2]$

বা, $\mathrm{EC}\cdot \mathrm{AE}={\mathrm{EF}}^2-\mathrm{BF}(\mathrm{BF}-\mathrm{BC})$

বা, $\mathrm{CE}\cdot \mathrm{AE}={\mathrm{EF}}^2-\mathrm{BF}\cdot \mathrm{CF}$

$\therefore {\mathrm{EF}}^2=\mathrm{AE}\cdot \mathrm{CE}+\mathrm{BF}\cdot \mathrm{CF}$ (প্রমাণিত)