সৃজনশীলঃ ‘…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখন, $△\mathrm{ABC}$ এর পরিকেন্দ্র $O$ এবং $CO$ বরাবর $P$ মানের বলটি ক্রিয়ারত আছে। $P$ এর সমান্তরালে $A$ ও $B$ বিন্দুতে এর অংশদ্বয় যথাক্রমে $X$ ও $Y$। $O,A$ ও $0,B$ যোগ করি । 

এখন, $X\cdot \mathrm{AD}=Y\cdot \mathrm{BD}$
বা, $X\cdot \frac{AD}{OD}=Y\cdot \frac{BD}{OD}$
বা, $X\cdot \frac{\frac{AD}{OA}}{\frac{OD}{OA}}=Y\cdot \frac{\frac{BD}{OB}}{\frac{OD}{OB}}$
বা, $X\cdot \frac{\sin \angle AOD}{\sin \angle OAD}=Y\cdot \frac{\sin \angle BOD}{\sin \angle OBD}$ 

বা, $X\cdot \frac{\sin \angle \mathrm{AOD}}{\sin \angle \mathrm{OAD}}=Y\cdot \frac{\sin \angle \mathrm{BOD}}{\sin \angle \mathrm{OAD}}$ [য়েহেতু $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=$ পরিবৃত্তের
ব্যাসার্ধ। তাই $\angle \mathrm{OAD}=\angle \mathrm{OBD}$ ]
বা, $X\cdot \sin \angle \mathrm{AOD}=Y\cdot \sin \angle \mathrm{BOD}$
বা, $\frac{X}{Y}=\frac{\sin \angle BOD}{\sin \angle AOD}=\frac{\sin (\pi -\angle BOC)}{\sin (\pi -\angle AOC)}$
বা, $\frac{X}{Y}=\frac{\sin \angle \mathrm{BOC}}{\sin \angle \mathrm{AOC}}=\frac{\sin 2\angle \mathrm{BAC}}{\sin 2\angle \mathrm{ABC}}[\because$ কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ $]$
বা, $\frac{X}{Y}=\frac{\sin 2A}{\sin 2B}$
$\therefore X:Y=\sin 2A:\sin 2B$ (দেখানো হলো) 

মনে করি, একই অনুভূমিক রেখার $x$ দূরত্বে অবস্থিত $A$ ও $B$ দুইটি বিন্দু। $ACB=1$ দৈর্ঘ্যের তারের প্রান্তদ্বয় $A$ ও $B$ বিন্দুতে বাঁধা। যেহেতু তারের উপর দিয়ে $W$ ওজন বহনকারী আংটা অবাধে গড়িয়ে চলাচল করতে পারে। কাজেই আংটার দুই পার্শ্বে তারের টান সমান হবে। এক্ষেত্রে $C$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত সমান দুইটি বল $T$ যা $W$ ওজনকে ভারসাম্যে রাখে।
তারের টান $=T$

$T,T$ বলদ্বয়ের লব্ধি $W$.

$T^2+T^2+2T\cdot T\cdot \cos C=W^2$

বা, $2T^2+2T^2\cos C=W^2$
বা, $T^2(2+2\cos C)=W^2$.
বা, $T^2=\frac{W^2}{2+2\cos C}$

$=\frac{W^2}{2+2\cdot \frac{{\left(\frac{l}{2}\right)}^2+{\left(\frac{l}{2}\right)}^2-x^2}{2\cdot \frac{l}{2}\cdot \frac{l}{2}}}$ 

$\begin{array}{cc}& =\frac{W^2}{2+2\cdot \frac{\frac{{\frac{l}{2}}^2}{2}-x^2}{\frac{l^2}{2}}}\\ & =\frac{W^2}{2+\frac{l^2-2x^2}{\frac{l^2}{2}}}=\frac{W^2}{2+\frac{2l^2-4x^2}{l^2}}\end{array}$ 

বা, $T^2=\frac{W^2{l}^2}{2l^2+2l^2-4x^2}$
বা, $T^2=\frac{W^2{l}^2}{4(l^2-x^2)}$
$\therefore T=\frac{Wl}{2\sqrt{l^2-x^2}}$. (দেখানো হলো)