সৃজনশীলঃ ‘চিত্র-১ চিত্র-২…’ ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

মনে করি, $A$ ও $B$ বিন্দুতে যথাক্রমে $P$ ও $Q$ বলদ্বয় কার্যরত। এদের লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু $C$।

$\therefore P\cdot \mathrm{AC}=Q\cdot \mathrm{BC}$
বা, $\frac{AC}{BC}=\frac{Q}{P}$$.............\left(1\right)$
$P$ কে $(R+3)$ পরিমাণ এবং $Q$ কে $(S+2)$ পরিমাণ বৃদ্ধি করলেও  লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু  $C$ বিন্দুতে থাকে.।

$\therefore (P+R+3)\cdot AC=(Q+S+2)\cdot BC$

বা, $\frac{AC}{BC}=\frac{Q+S+2}{P+R+3}$$.............\left(2\right)$

আবার, $P$ এর পরিবর্তে $Q$ এবং $Q$ এর পরিবর্তে $(R+3)$বল ক্রিয়া করলেও লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু $C$ বিন্দুতে থাকে।

$\therefore Q\cdot AC=(R+3)\cdot BC$

বা, $\frac{AC}{BC}=\frac{R+3}{Q}$$.............\left(3\right)$

$\left(1\right),\left(2\right)$ ও $\left(3\right)$ নং সমীকরণ হতে পাই, 

$\frac{Q}{P}=\frac{Q+S+2}{P+R+3}=\frac{R+3}{Q}$$.............\left(4\right)$

$\therefore \frac{Q}{B}=\frac{Q+S+2}{B+R+3}$ 

বা, $\frac{Q}{P}=\frac{Q+S+2-Q}{P+R+3-P}=\frac{S+2}{R+3}$ 

$\therefore \frac{Q}{P}=\frac{S+2}{R+3}$$.............\left(5\right)$

$\left(4\right)$ ও $\left(5\right)$ নং সমীকরণ হতে পাই  $\frac{Q}{P}=\frac{R+3}{Q}=\frac{S+2}{R+3}$ 

বা, $\frac{Q-R-3}{P-Q}=\frac{R+3-S-2}{Q-R-3}$
বা, $\frac{Q-R-3}{P-Q}=\frac{R-S+1}{Q-R-3}$
বা, $(P-Q)(R-S+1)=(Q-R-3{)}^2$.
বা, $R-S+1=\frac{(Q-R-3{)}^2}{P-Q}$

$\therefore R=S+\frac{(Q-R-3{)}^2}{P-Q}-1$. (প্রমাণিত) 

দেওয়া আছে,

এবং$\begin{array}{cc}& \mathrm{BC}=a=3\mathrm{cm},\mathrm{CA}=b=5\mathrm{cm}এবং\mathrm{AB}=c=7\mathrm{cm}.\\ \therefore & \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\mathrm{bc}}=\frac{5^2+7^2-3^2}{2\times 5\times 7}=\frac{13}{14}\end{array}$ 

এবং $\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=\frac{7^2+3^2-5^2}{2\times 7\times 3}=\frac{11}{14}$ 

এবং $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2\mathrm{ab}}=\frac{3^2+5^2-7^2}{2\times 3\times 5}=-\frac{1}{2}$ 

$△\mathrm{ABC}$ এর অন্তঃকেন্দ্র $I$ হতে $P,Q,R$ বলত্রয় ক্রিয়া করে ভারসাম্য সৃষ্টি করে। লামির উপপাদ্য অনুসারে, 

$\frac{P}{\sin \angle BIC}=\frac{Q}{\sin \angle AIC}=\frac{R}{\sin \angle AIB}$$.....\left(i\right)$ 

$\Delta \mathrm{BIC}-\Omega ,\angle \mathrm{BIC}+\angle \mathrm{IBC}+\angle \mathrm{ICB}=\pi$
বা, $\angle \mathrm{BIC}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=\pi [\because \Delta \mathrm{ABC}$ এর অন্তঃকেন্দ্র  I]
বা, $\angle \mathrm{BIC}=\pi -\frac{1}{2}(B+C)$ বা, $\angle \mathrm{BIC}=\pi -\frac{1}{2}(\pi -A)=\frac{\pi }{2}+\frac{A}{2}$
অনুরূপভাবে, $\angle \mathrm{AIC}=\frac{\pi }{2}+\frac{B}{2}$ এবং $\angle \mathrm{AIB}=\frac{\pi }{2}+\frac{C}{2}$.
$\therefore$$\left(i\right)$নং হতে পাই $\frac{P}{\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{A}{2})}=\frac{Q}{\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{B}{2})}=\frac{R}{\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{C}{2})}$
বা, $\frac{P}{\cos \frac{A}{2}}=\frac{Q}{\cos \frac{B}{2}}=\frac{R}{\cos \frac{C}{2}}$ বা, $\frac{P^2}{{\cos }^2\frac{A}{2}}=\frac{Q^2}{{\cos }^2\frac{B}{2}}=\frac{R^2}{{\cos }^2\frac{C}{2}}$

বা, $\frac{P^2}{2{\cos }^2\frac{A}{2}}=\frac{Q^2}{2{\cos }^2\frac{B}{2}}=\frac{R^2}{2{\cos }^2\frac{C}{2}}$
বা, $\frac{P^2}{1+\cos A}=\frac{Q^2}{1+\cos B}=\frac{R^2}{1+\cos C}$
বा, $\frac{P^2}{1+\frac{13}{14}}=\frac{Q^2}{1+\frac{11}{14}}=\frac{R^2}{1-\frac{1}{2}}$ বा, $\frac{P^2}{\frac{27}{14}}=\frac{Q^2}{\frac{25}{14}}=\frac{R^2}{\frac{1}{2}}$
বা, $\frac{P^2}{27}=\frac{Q^2}{25}=\frac{R^2}{7}$
$\therefore P^2:Q^2:R^2=27:25:7$. (প্রমাণিত)