সৃজনশীলঃ ‘চিত্র অনুযায়ী ০…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৪ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মানে না। কারণ এক্ষেত্রে গুণফলের মান সমান হলেও দিক বিপরীতমুখী হয়ে থাকে।

ব্যাখ্যা : মনে করি, $\overrightarrow{P}$ ও $\overrightarrow{Q}$ দুটি ভেক্টর রাশি এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ ।

এখন, $\overrightarrow{P}$ ও $\overrightarrow{Q}$ ভেক্টর দুটির ক্রস গুণন,

$\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}=\hat{n}\mathrm{PQ}\sin \theta$......................(1)

[এখানে, $\hat{n}$ একটি একক ভেক্টর যা $\overrightarrow{R}$ এর দিক নির্দেশ করে]

এবং $\overrightarrow{Q}\times \overrightarrow{P}=\hat{n}\mathrm{PQ}\sin (-\theta )=-\hat{n}\mathrm{PQ}\sin \theta$
$\therefore \overrightarrow{Q}\times \overrightarrow{P}=-\hat{n}\mathrm{PQ}\sin \theta$
(1) ও (2) নং সমীকরণ হতে পাই,

$\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}=-\overrightarrow{Q}\times \overrightarrow{P}$
$\therefore \overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}\ne \overrightarrow{Q}\times \overrightarrow{P}$

অর্থাৎ, ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মানে না।

এখানে; $\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|=11N\cdot \left|{\overrightarrow{F}}_2\right|=22N,\left|{\overrightarrow{F}}_3\right|=33N$

${\overrightarrow{F}}_1$ এর সাথে OX এর মধ্যবর্তী  কোণ, ${\theta }_1=0^{\circ }$
${\overrightarrow{F}}_2$ এর সাথে OX এর মধ্যবর্তী কোণ, ${\theta }_2={180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$
${\overrightarrow{F}}_3$ এর সাথে OX এর মধ্যবর্তী কোণ, ${\theta }_3={270}^{\circ }-{30}^{\circ }={240}^{\circ }$
OX বরাবর ক্রিয়াশীল লব্ধি বলের মান

$F_x=\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|\cos {\theta }_1+\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|\cos$${\theta }_2+\left|{\overrightarrow{F}}_3\right|\cos {\theta }_3$
$=11\cos 0^{\circ }+22\cos {120}^{\circ }+33\cos {240}^{\circ }$
$=-16.5N$
অতএব, বস্তুকণার উপর OX বরাবর ক্রিয়াশীল লব্ধি বলের মান – 16.5 N.

এখানে, $\left|{\overrightarrow{F}}_{\mid }\right|=11N,\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|=22N,\left|{\overrightarrow{F}}_3\right|=33N$

${\overrightarrow{F}}_1$ এর সাথে OX এর মধ্যবর্তী কোর, ${\theta }_1=0^{\circ }$
${\overrightarrow{F}}_2$ এর সাথে OX এর মধ্যবর্তী কোণ, ${\theta }_2={120}^{\circ }$
${\overrightarrow{F}}_3$ এর সাথে OX এর মধ্যবর্তী কোণ, ${\theta }_3={240}^{\circ }$
X অক্ষ বরাবর ক্রিয়াশীল লব্ধি বলের মান $F_x=-16.5N$ ['গ’’ হতে] এখন Y অক্ষ বরাবর ক্রিয়াশীল লব্ধি বলের মান,

$F_y=\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|\sin {\theta }_1+\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|\sin$${\theta }_2+\left|{\overrightarrow{F}}_3\right|\sin {\theta }_3$
$=11\times \sin 0^{\circ }+22\sin {120}^{\circ }+33\sin {240}^{\circ }$
$=-9.526N$

লব্ধি বলের মান,

$\begin{array}{cc}F& =\sqrt{F_x{}^2+F_y{}^2+2F_x\times F_y\cos \alpha }\\ & =\sqrt{(-16.5{)}^2+(-9.526{)}^2+2\times (-16.5)\times (-9.526)\times \cos {90}^{\circ }}\\ & =19.05N\end{array}$

লব্ধির দিক, $\tan \theta =\frac{F_y\sin \alpha }{F_x+F_y\cos \alpha }$
বা, $\theta ={\tan }^{-1}\frac{9.526\times \sin {90}^{\circ }}{16.5+F_y\cos {90}^{\circ }}$
বা, $\theta ={\tan }^{-1}\frac{9.526}{16.5}={30}^{\circ }$

অতএব, বল প্রয়োগের ফলে বস্তুকণাটি 19.05 N বলে X অক্ষের ঋণাত্মক দিকের সাথে 30° কোণে গতিশীল হবে।