সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে 10 kg…’ নটরডেম কলেজ ২০২৪ – পদার্থের গাঠনিক ধর্ম, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

স্থিতিস্থাপক বস্তুর ক্ষেত্রে যখন দুটি অণুর আন্তঃআণবিক দূরত্ব অনেক বেশি হয় (যেমন: গ্যাস অণুর ক্ষেত্রে) তখন এদের মধ্যে খুব সামান্য পরিমাণ আকর্ষণ বল ক্রিয়াশীল থাকে। অণুগুলো যত কাছাকাছি আসে অর্থাৎ এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব কমলে, এদের আকর্ষণ বলের মান ও বাড়তে বাড়তে সর্বোচ্চ মানে পৌঁছায়। এরপর দূরত্ব আরও কমলে আকর্ষণ বলের মান কমতে থাকে, অর্থাৎ তখন আন্তঃআণবিক বিকর্ষণ বলও ক্রিয়াশীল হয়। r = r_o হলে তখন আন্তঃআণবিক আকর্ষণ ও বিকর্ষণ বল সমান হয় বা লব্ধি বল শূন্য হয়। এই r = ro অবস্থানকে সাম্যবাস্থান বলে । অর্থাৎ r = r_o অবস্থান থেকে দুটি অণুর মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃদ্ধি পেলে আন্তঃআণবিক আকর্ষণ বল বাড়তে থাকে।

চিত্রে উভয় তার শ্রেণিতে যুক্ত থাকায় উভয় তারের উপর প্রযুক্ত বল F একই।

১ম তারের ক্ষেত্রে, $Y_1=\frac{F_1{L}_1}{A_1{l}_1}$ या, $F_1=\frac{Y_1{A}_1{l}_1}{L_1}$
২য় তারের ক্ষেত্রে, $Y_2=\frac{F_2{L}_2}{A_2{l}_2}$ বা, $F_2=\frac{Y_2{A}_2{l}_2}{L_2}$

এখানে,
১ম তারের ক্ষেত্রে,
ব্যাসার্ধ, $r_1=1.2\mathrm{mm}$
আদি দৈর্ঘ্য, $L_1=0.5m$
২য় তারের ক্ষেত্রে,
ব্যাসার্ধ, $r_2=1\mathrm{mm}$

আদি দৈর্ঘ্য, $L_2=0.7m$ ভর, $m=10\mathrm{kg}$
১ম তারের ইয়ং গুণাঙ্ক $Y_1$
ও ২য় তারের ইয়ং গুণাঙ্ক
$Y_2$ হলে, $Y_1=1.2Y_2$
মোট প্রসারণ, $l=5\mathrm{cm}$
১ম তারের প্রসারণ, $l_1$
ও ২য় তারের প্রসারণ, $l_2$

এখন, $F_1=F_2$
বা, $\frac{Y_1{A}_1{l}_1}{L_1}=\frac{Y_2{A}_2{l}_2}{L_2}$
বা, $\frac{1.2Y_2\times \pi r_1{}^2\times l_1}{0.5}=\frac{Y_2\times \pi r_2{}^2\times l_2}{0.7}$
বা, $\frac{1.2\times r_1^2\times l_1}{0.5}=\frac{r_2^2\times l_2}{0.74}$

বা, $l_2=\frac{1.2\times 0.7}{0.5}\times {\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2{l}_1$

বা, $l_2=\frac{1.2\times 0.7}{0.5}\times {\left(\frac{1.2}{1}\right)}^2{l}_1$

$\therefore l_2=2.4192l_1$

এখন, ভর ঝোলানোর ফলে মোট প্রসারণ, $l=l_1+l_2$
বা, $l_1+l_2=5\mathrm{cm}$
বা, $l_1+2.4192l_1=5\mathrm{cm}$
বা, $3.4192l_1=5\mathrm{cm}$
$\therefore l_1=\frac{5\mathrm{cm}}{3.4192}=1.46233\mathrm{cm}\text{ (Ans.) }$

ব্যবস্থাটির সরলদোলকের মতো দুলতে থাকলে যেকোনো কৌণিক অবস্থান ৪ হলে, কেন্দ্রের দিকে ক্রিয়াশীল সূতার টান T হলে, $\sum F=\frac{m{v}^2}{r}[\because$ সরল দোলকের গতি বৃত্তাকার পথে গতিশীল তাই কেন্দ্রমুখী বল, $F_c=\frac{m{v}^2}{r}]$

বা, $T-mg\cos \theta =\frac{m{v}^2}{r}$
বা, $T=mg\cos \theta +\frac{m{v}^2}{r}$ ..... (i)

(i) থেকে দেখা যায়, θ বাড়লে cosθ কমে এবং দোলকটি বিস্তারের দিকে যায় বলে বেগ v ও কমতে থাকে, ফলে সূতার টান T ও কমতে থাকে। তাই θ = 0° হলে বা সাম্যাবস্থানে cosθ সর্বোচ্চ ও বেগও সর্বোচ্চ হয়, তাই সূতার টান T ও সর্বোচ্চ হয়।

$\therefore T_{max}=\mathrm{mg}+\frac{{\mathrm{mv}}^2}{r}\dots \dots .$.

এখানে,
আদি দৈর্ঘ্য, $L_1=0.5m$
আদি বেগ, $L_2=0.7m$
দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি, $l=5\mathrm{cm}=0.05m$
বস্তুর ব্যাসার্ধ, $r^{\prime }=\frac{10}{2}=5\mathrm{cm}$.
$=0.05m$

এখন, ব্যবস্থাটির কার্যকারী দৈর্ঘ্য L হলে,
$L=L_1+L_2+l+r^{\prime }$
$=0.5+0.7+0.05+0.05$
$=1.3m$
অর্থাৎ বৃত্তাকার পথের ব্যাসাধ, $r=L=1.3m$

বস্তুটি সর্বোচ্চ B বিন্দুতে উঠে যেখানে $\theta ={45}^{\circ }$
$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=L,\mathrm{OC}=L\cos \theta$
$\therefore \mathrm{AC}=\mathrm{OA}-\mathrm{OC}=L-L\cos \theta$
$=L(1-\cos \theta )$
বন্তুটি B থেকে A তে গেলে বেগ $v$ হলে,
সরণ$v^2=u^2+2g\times AC[\text{ [সরণ, }s=AC]$
$\therefore v^2=2gAC=2gL(1-\cos \theta )$

(ii) এ মান বসিয়ে, সূতার সর্বোচ্চ টান,
$T_{max}=mg+\frac{m{v}^2}{r}$
$=mg+\frac{m\cdot 2gL(1-\cos \theta )}{L}=mg+2\mathrm{mg}(1-\cos \theta )$
$=10\times 9.8+2\times 10\times 9.8(1-\cos {45}^{\circ })=155.41N$
$\therefore$ ২য় তারটির অসহ পীড়ন $=\frac{T_{max}}{A_2}=\frac{T_{max}}{\pi r_2^2}$
$=\frac{155.41}{\pi \times {\left({10}^{-3}\right)}^2}=4.95\times {10}^7{\mathrm{Nm}}^{-2}$

সুতরাং বলা যায়, ২য় তারটির অসহ পীড়ন নির্ণয় করা সম্ভব হবে।