সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে 4 km…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৪ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্র বিনিময় সূত্র মেনে চলে।

চিত্রে, $△\mathrm{OAB}$ হতে পাই,

বা$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{ বা, }\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}=\overrightarrow{R}$

এবং $△OCB$ হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

বা, $\overrightarrow{Q}+\overrightarrow{P}=\overrightarrow{R}$

এখন, $\overrightarrow{R}=\overrightarrow{R}$ তুলনা করে পাই, $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}=\overrightarrow{Q}+\overrightarrow{P}$

সুতরাং, ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্র বিনিময় সূত্র মেনে চলে।

এখানে, সোহেলের নৌকার বেগ, $v_1=8\mathrm{km}{h}^{-1}$

স্রোতের বেগ,  $u=4\mathrm{km}{h}^{-1}$

সোহেলের নৌকার লব্ধি বেগের সাথে স্রোতের বেগের মধ্যবর্তী কোণ, $\theta$ = 90°

এখন, সোহেলের নৌকার বেগ এবং স্রোতের বেগের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ হলে,

$\tan \theta =\frac{v_1\sin \alpha }{u+v_1\cos \alpha }$

বা, $\tan {90}^{\circ }=\frac{8\sin \alpha }{4+8\cos \alpha }$
বা, $\frac{1}{0}=\frac{8\sin \alpha }{4+8\cos \alpha }$
বা, $4+8\cos \alpha =0$
বা, $\cos \alpha =-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}$
বা, $\alpha ={\cos }^{-1}(-\frac{1}{2})={120}^{\circ }$

∴ সোহেলের ক্ষেত্রে নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগের লব্ধির মান ,

$\begin{array}{cc}w& =\sqrt{v_1{}^2+u^2+2\times v_1\times u\times \cos \alpha }\\ & =\sqrt{8^2+4^2+2\times 8\times 4\times \cos {120}^{\circ }}\\ & =\sqrt{64+16-32}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\mathrm{km}{h}^{-1}\end{array}$

অতএব, সোহেলের ক্ষেত্রে নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগের লব্ধি বেগের মান 4√3 km h^-1.

এখানে, সোহেলের নৌকার বেগ, v₁ = 8 km h¯¹

রোহানের নৌকার বেগ, v₂ = 10 km h¯¹

স্রোতের বেগ, u = 4 km h¯¹

নদী পার হতে সোহেলের সময় লাগে,

$t_1=10\min =\frac{10}{60}h=\frac{1}{6}h$

সোহেলের নৌকার বেগের সাথে স্রোতের বেগের মধ্যবর্তী কোণ,

গহতে$\alpha ={120}^{\circ }\text{ [গ হতে] }$

এখন, নদীর প্রস্থ AD হলে,

$\mathrm{AD}=v_1\sin {\alpha }_1\times t_1$
$=8\mathrm{km}{h}^{-1}\times \sin {120}^{\circ }\times \frac{1}{6}h$
$=1.1547\mathrm{km}$

আবার, রোহান AD বরাবর নৌকা চালিয়ে C বিন্দুতে পৌঁছালে তার নৌকার বেগের সাথে স্রোতের বেগের মধ্যবর্তী কোণ, α₂ = 90° 

∴ রোহানের নৌকার লব্ধি বেগের সাথে স্রোতের বেগের মধ্যবর্তী
কোণ ${\theta }_2$ হলে,

বা$\begin{array}{cc}& \tan {\theta }_2=\frac{v_2\sin {\alpha }_2}{u+v_2\cos {\alpha }_2}=\frac{10\sin {90}^{\circ }}{4+10\cos {90}^{\circ }}\\ & \text{ বা, }{\theta }_2={\tan }^{-1}\left(\frac{10}{4}\right)={68.2}^{\circ }\end{array}$

উদ্দীপকের চিত্রের,

$\angle \mathrm{DAC}={90}^{\circ }-{\theta }_2$
$={90}^{\circ }-{68.2}^{\circ }={21.8}^{\circ }$

$\therefore \mathrm{ADC}$ সমকোণী ত্রিভুজে,

$\tan \angle \mathrm{DAC}=\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{AD}}$

বা, $\mathrm{DC}=\mathrm{AD}\times \tan \angle \mathrm{DAC}$
$=1.1547\mathrm{km}\times \tan {21.8}^{\circ }=0.462\mathrm{km}$

যেহেতু $1.1547\mathrm{km}\ne 0.462\mathrm{km}$

$\therefore \mathrm{AD}\ne \mathrm{DC}$

সুতরাং নদীর প্রস্থ AD ও রোহানের দৈর্ঘ্য বরাবর অতিক্রান্ত দূরত্ব DC সমান হবে না।