সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে, AQ ও…’ ২০২৫ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$AQ$ রেখার সমীকরণ, $4x+3y-12=0$ ...... (i)

$AP$ রেখার সমীকরণ, $12x+5y-13=0$ ...... (ii)

(i) নং ও (ii) নং রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়।

অর্থাৎ ∠PAQ কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ,

$\frac{4x+3y-12}{\sqrt{4^2+3^2}}=\pm \frac{12x+5y-13}{\sqrt{{12}^2+5^2}}$

বা, $\frac{4x+3y-12}{\sqrt{25}}=\frac{12x+5y-13}{\sqrt{169}}$

বা, $\frac{4x+3y-12}{5}=\pm \frac{12x+5y-13}{13}$

বা, $13(4x+3y-12)=\pm 5(12x+5y-13)$

বা, $52x+39y-156=\pm (60x+25y-65)$

(+) চিহ্ন নিয়ে পাই, $52x+39y-156=60x+25y-65$

বা, $-8x+14y-91=0$

$\therefore 8x-14y+91=0$ ...... (iii)

বা, $14y=8x+91$

বা, $y=\frac{8}{14}x+\frac{91}{14}$

$\therefore y=\frac{4}{7}x+\frac{13}{2}$

$\therefore$ রেখাটির ঢাল, $m_1=\frac{4}{7}$

(-) চিহ্ন নিয়ে পাই,

$52x+39y-156=-(60x+25y-65)$

বা, $52x+39y-156+60x+25y-65=0$

$\therefore 112x+64y-221=0$. ........ (iv)

বা, $64y=-112x+221$

বা, $y=\frac{-112}{64}x+\frac{221}{64}\therefore y=\frac{-7}{4}x+\frac{221}{64}$

$\therefore$ রেখাটির ঢাল, $m_2=-\frac{7}{4}$

$\therefore$ ঢালদ্বয়ের গুণফল, $m_1\times m_2=\frac{4}{7}\times \frac{-7}{4}=-1$

যেহেতু (iii) নং ও (iv) নং রেখার ঢালদ্বয়ের গুণফল 1, সেহেতু (iii) ও (iv)নং রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব।

অর্থাৎ, ∠PAQ কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব। (দেখানো হলো)

AP রেখার সমীকরণ, $12x+5y-13=0$ .........(i)

এখন, AP রেখার উপর লম্ব রেথার সমীকরণ,

$5x-12y+k=0$ ....... (ii)

(ii) নং $(3,7)$ বিন্দুগামী,

$\therefore 5\times 3-12\times 7+k=0$

$\therefore 15-84+k=0$

বা, $-69+k=0\therefore k=69$

$\therefore \mathrm{AP}-$এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ : $5x-12y+69=0$ ...... (iii)

(i) ও (iii) নং হতে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই,

$\frac{x}{5\times 69-(-12)\times (-13)}=\frac{y}{5\times (-13)-12\times 69}=\frac{1}{12\times (-12)-5\times 5}$

বা, $\frac{x}{345-156}=\frac{y}{-65-828}=\frac{1}{-144-25}$

বা, $\frac{x}{189}=\frac{y}{-893}=\frac{1}{-169}$

$\therefore \frac{x}{189}=\frac{1}{-169}$

বা, $x=-\frac{189}{169}$

এবং $\frac{y}{-893}=\frac{1}{-169}$

বা, $y=\frac{893}{169}$

$\therefore$ (i) ও (iii) নং রেখার ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-\frac{189}{169},\frac{893}{169})$

ধরি, প্রতিবিম্ব বিন্দু $(\alpha ,\beta )$

প্রদত্ত বিন্দু $(x_1,y_1)=(3,7)$

এবং প্রাপ্ত ছেদবিন্দু $(x_2,y_2)=(-\frac{189}{169},\frac{893}{169})$.

এখন, $(\alpha ,\beta )$ বিন্দুটি $(x_1,y_1)$-এর প্রতিবিম্ব বিন্দু হলে, $(\alpha ,\beta )\star (x_1,y_1)$ এর মধ্যবিন্দু হবে $(x_2;y_2)$।

$\therefore x_2=\frac{x_1+\alpha }{2}$

বা, $\frac{-189}{169}=\frac{3+\alpha }{2}$

বা, $507+169\alpha =-378$

বা, $169\alpha =-378-507$

$\therefore \alpha =\frac{-885}{169}$

এবং $y_2=\frac{y_1+\beta }{2}$

$\frac{893}{169}=\frac{7+\beta }{2}$

বা, $1183+169\beta =1786$

বা, $169=1786-1183$

বা, $169\beta =603$ বा, $\beta =\frac{603}{169}$

$\therefore$ প্রতিবিম্ব বিন্দু $=(\frac{-885}{169},\frac{603}{169})$.