সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে BC ব্যাসের…’ Combined ২০২৬ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

চিত্রানুযায়ী, $AC=\sqrt{2}$ এবং $\angle CAB={90}^{\circ }$। $BC$ ব্যাসের উপর $BDC$ একটি অর্ধবৃত্ত এবং $CEBA$ একটি বৃত্তকলা।

ত্রিভুজ $ABC$ এর ক্ষেত্রফল:

যেহেতু $\angle CAB={90}^{\circ }$, তাই $△ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় $AC=\sqrt{2}$ এবং $AB$ (ধরি $AB=x$)।

তবে চিত্র অনুযায়ী ব্যাস $BC$ এর উপর অর্ধবৃত্ত গঠিত হয়েছে। পাইথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$।

এখানে $AC=\sqrt{2}$।

ব্যাস $BC$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

ধরি, $AB=a$। তাহলে বৃত্তকলার ব্যাসার্ধ বা $AC$ এর মান দেওয়া আছে $\sqrt{2}$।

যেহেতু $CEBA$ একটি বৃত্তকলা এবং $\angle CAB={90}^{\circ }$ ($\frac{\pi }{2}$ রেডিয়ান), তাই বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল:

ক্ষেত্রফলবৃত্তকলা$\text{ক্ষেত্রফল (বৃত্তকলা }CEBA)=\frac{1}{2}{r}^2\theta =\frac{1}{2}(AC{)}^2\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}(\sqrt{2}{)}^2\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}(2)\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}$

অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল:

$BC$ ব্যাসের উপর অঙ্কিত অর্ধবৃত্ত $BDC$ এর ব্যাসার্ধ $R=\frac{BC}{2}$।

সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$-তে, $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=A{B}^2+(\sqrt{2}{)}^2=A{B}^2+2$।

সাধারণত এ ধরনের জ্যামিতিক চিত্রে $AB=AC=\sqrt{2}$ ধরা হয় (সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ)। যদি $AB=\sqrt{2}$ হয়, তবে:

$B{C}^2=(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2=2+2=4⟹BC=2$।

তাহলে অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ $R=\frac{2}{2}=1$।

অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}\pi R^2=\frac{1}{2}\pi (1{)}^2=\frac{\pi }{2}$।

দাগাঙ্কিত অংশের ক্ষেত্রফল:

দাগাঙ্কিত অংশটি হলো অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল থেকে বৃত্তকলার অতিরিক্ত অংশ বাদ দিয়ে প্রাপ্ত ক্ষেত্রফল অথবা অর্ধবৃত্ত ও বৃত্তকলার সমন্বিত ক্ষেত্রফল।

এখানে চিত্র অনুযায়ী দাগাঙ্কিত অংশটি হলো অর্ধবৃত্ত $BDC$ এবং বৃত্তকলা $CEBA$ এর সংযোগ বা বিয়োগফল। মূল অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল $\frac{\pi }{2}$ এবং বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $\frac{\pi }{2}$ হলে, জ্যামিতিক বিন্যাস অনুযায়ী দাগাঙ্কিত অংশের ক্ষেত্রফল:

অর্ধবৃত্তেরক্ষেত্রফলত্রিভুজেরক্ষেত্রফলবৃত্তকলারঅংশ$=\left(\text{অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল}\right)-(\text{ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল}-\text{বৃত্তকলার অংশ})$

বা সরাসরি হিসাব করলে, দাগাঙ্কিত অংশের ক্ষেত্রফল = $\frac{\pi }{2}$ (বা প্রদত্ত মান অনুযায়ী বিন্যস্ত ক্ষেত্রফল)।

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\cos x$

তাহলে, $g(2\pi -2x)=\cos (2\pi -2x)$

আমরা জানি, চতুর্ভাগ সম্পর্কিত ত্রিকোণমিতিক সূত্র অনুযায়ী $\cos (2\pi -\theta )=\cos \theta$।

সুতরাং, $g(2\pi -2x)=\cos \left(2x\right)$

ধরি, $y=\cos \left(2x\right)$

এখানে ব্যবধি দেওয়া আছে: $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য কিছু বিন্দুর স্থানাঙ্ক:

যখন $x=-\frac{\pi }{2}$: $y=\cos (2\times -\frac{\pi }{2})=\cos (-\pi )=-1$

যখন $x=-\frac{\pi }{4}$: $y=\cos (2\times -\frac{\pi }{4})=\cos (-\frac{\pi }{2})=0$

যখন $x=0$: $y=\cos \left(0\right)=1$

যখন $x=\frac{\pi }{4}$: $y=\cos (2\times \frac{\pi }{4})=\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0$

যখন $x=\frac{\pi }{2}$: $y=\cos (2\times \frac{\pi }{2})=\cos \left(\pi \right)=-1$

লেখচিত্রের বৈশিষ্ট্য (২টি):

১. পর্যায় (Period): ফাংশনটির পর্যায় হলো $\frac{2\pi }{2}=\pi$। অর্থাৎ, এটি প্রতি $\pi$ অন্তর অন্তর তার মানের পুনরাবৃত্তি করে।

২. সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান: ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান $1$ (যাহা $x=0$ বিন্দুতে পাওয়া যায়) এবং সর্বনিম্ন মান $-1$ (যাহা $x=-\frac{\pi }{2}$ ও $\frac{\pi }{2}$ বিন্দুতে পাওয়া যায়)।