সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে, BC=a,AC=b এবং…’ রাজশাহী ক্যাডেট কলেজ ২০২৫ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$\approx △\mathrm{ABC}\Omega$,

$\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}=1$

বা, $\frac{b(b+c)+a(a+c)}{(a+c)(b+c)}=1$

বা, $\frac{b^2+bc+a^2+ac}{ab+ac+bc+c^2}=1$

বা, $b^2+bc+a^2+ac=ab+ac+bc+c^2$

বা, $b^2+bc+a^2+ac-ac-bc-c^2=ab$

বা, $a^2+b^2-c^2=ab$

বা, $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{ab}{2ab}$

বা, $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{1}{2}$

বা, $\cos C=\frac{1}{2}$

বা, $\cos C=\cos {60}^{\circ }$

বা, $C={60}^{\circ }$.

বা, $C=60\times \frac{\pi }{180}[\because 1^{\circ }=\frac{\pi }{180}$ রেডিয়ান $]$

$\therefore C=\frac{\pi }{3}$ রেডিয়ান

নির্ণেয় মান : $\angle C=\frac{\pi }{3}$ রেডিয়ান।

 $a^3\sin (B-C)[\because \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R]$

$=8R^3{\sin }^{3}A\sin (B-C)$

$=8R^3{\sin }^{2}A\cdot \sin A\sin (B-C)$

$=8R^3{\sin }^{2}A\sin (B+C)\sin (B-C);[A+B+C=\pi ]$

$=8R^3{\sin }^{2}A({\sin }^{2}B-{\sin }^{2}C)$

অনুরূপভাবে, 

$b^3\sin (C-A)=8R^3{\sin }^{2}B({\sin }^{2}C-{\sin }^{2}A)$

$c^3\sin (A-B)=8R^3{\sin }^{2}C({\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B)$

$\therefore a^3\sin (B-C)+b^3\sin (C-A)+c^3\sin (A-B)$

$=8R^3\{{\sin }^{2}A{\sin }^{2}B-{\sin }^{2}C{\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B{\sin }^{2}C$

$-{\sin }^{2}A{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C{\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B{\sin }^{2}C\}$

$=8R^3\times 0=0$

$\therefore a^3\sin (B-C)+b^3\sin (C-A)+c^3\sin (A-B)=0.$

(দেখানো হলো)