সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে BD ব্যাস।…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

উদ্দীপকের চিত্র অনুযায়ী, বৃত্তে অন্তর্লিখিত ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে AB ও CD এবং AD ও BC । AC এবং BD চতুর্ভুজটির দুইটি কর্ণ।
প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BD}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot \mathrm{BC}$ প্রমাণ:
$\angle \mathrm{BAC}$ কে $\angle \mathrm{DAC}$ থেকে ছোট ধরে নিয়ে A বিন্দুতে AD রেখাংশের সাথে $\angle \mathrm{BAC}$-এর সমান করে $\angle \mathrm{DAE}$ আঁকি যেন AE রেখা BD কর্ণকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
অঙ্কন অনুসারে, $\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DAE}$ r
উভয়পক্ষে $\angle \mathrm{CAE}$ যোগ করে পাই,

$\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CAE}=\angle \mathrm{DAE}+\angle \mathrm{CAE}$

অর্থাৎ, $\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{DAC}$
এখন, $△\mathrm{ABE}$ ও $△\mathrm{ACD}$ এর মধ্যে $\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{DAC}$
$\angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{ACD}$ [একই বৃত্তাংশহিত কোণ সমান বলে]
এবং অবশিষ্ট $\angle \mathrm{AEB}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{ADC}$

$\therefore △\mathrm{ABE}$ ও $△\mathrm{ACD}$ সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ।
$\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}[\because$ সদৃশ ত্রিভুজের অনুরপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]
অর্থাৎ, $\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BE}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}$ . . . . . . . . (i)

আবার, $△\mathrm{ABC}$ ও $△\mathrm{AED}$ এর মধ্যে
$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DAE}$ [অঙ্কন অনুসারে]
$\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADE}$ [একই বৃত্তাংশস্থিত কোন সমান বলে]
এবং অবশিষ্ট $\angle \mathrm{ABC}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{AED}$
$△\mathrm{ABC}$ ও $△\mathrm{AED}$ সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ।
$\therefore \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{ED}}{\mathrm{BC}}[\because$ সদৃশ ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহুলোর অনুপাত সমান]
অর্থাৎ, $\mathrm{AC}\cdot \mathrm{ED}=\mathrm{BC}\cdot \mathrm{AD}$ . . . . . . . . (ii)

এখন, সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BE}+\mathrm{AC}\cdot \mathrm{ED}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot \mathrm{AD}$
বা, $\mathrm{AC}(\mathrm{BE}+\mathrm{ED})=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot \mathrm{AD}$
$\therefore AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC[\because \mathrm{BE}+\mathrm{ED}=\mathrm{BD}]$[প্রমাণিত]

উদ্দীপকের চিত্র অনুযায়ী, O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস BD এবং $\angle \mathrm{BAD}$ অর্ধবৃত্ত কোণ হওয়ায় $\angle \mathrm{BAD}=1$ সমকোণ
এখানে, $△\mathrm{BAD}$ সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ BD এবং $\mathrm{AM}\perp \mathrm{BD}$ । প্রমাণ করতে হবে যে, ${\mathrm{AM}}^2=\mathrm{BM}\cdot \mathrm{DM}$
প্রমাণ:
এখানে, $\angle \mathrm{BAD}={90}^{\circ }$

$\therefore \angle \mathrm{BAM}+\angle \mathrm{MAD}={90}^{\circ }$  . . . . . . . . (i)

আবার, $\mathrm{AM}\perp \mathrm{BD}$ বলে $\angle \mathrm{BMA}=\angle \mathrm{AMD}={90}^{\circ }$

$△\mathrm{BAM}$-এ $\angle \mathrm{BMA}+\angle \mathrm{BAM}+\angle \mathrm{ABM}={180}^{\circ }$

বা, ${90}^{\circ }+\angle \mathrm{BAM}+\angle \mathrm{ABM}={180}^{\circ }$
$[\because \angle \mathrm{BMA}={90}^{\circ }]$

$\therefore \angle \mathrm{BAM}+\angle \mathrm{ABM}={90}^{\circ }$ . . . . . . . . (ii)

(i) নং এবং (ii) নং হতে পাই,

$\angle \mathrm{BAM}+\angle \mathrm{MAD}=\angle \mathrm{BAM}+\angle \mathrm{ABM}$
$\therefore \angle \mathrm{MAD}=\angle \mathrm{ABM}$

ΔBAM এরং $△\mathrm{AMD}$

$\angle \mathrm{BMA}=\angle \mathrm{AMD}={90}^{\circ }[\because \mathrm{AM}\perp \mathrm{BD}]$
$\angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{MAD}$

অবশিষ্ট $\angle \mathrm{BAM}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{MDA}$
$\therefore △\mathrm{BAM}$ এবং $△\mathrm{AMD}$ সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ।
$\therefore \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{DM}}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{AM}}[\because$ সদৃশ ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান $]$
অর্ঘাৎ, $\frac{AM}{DM}=\frac{BM}{AM}$
$\therefore {AM}^2=BM\cdot DM[$ প্রমাণিত $]$