সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে C1 A=12OB=14OC2=1…’ চট্টগ্রাম কলেজ ২০২৪ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $C_{1}A=\frac{1}{2}\mathrm{OB}=\frac{1}{4}{\mathrm{OC}}_2=1$

$\therefore C_{1}A=1,\frac{1}{2}\mathrm{OB}=1,\frac{1}{4}{\mathrm{OC}}_2=1$

$\therefore \mathrm{OB}=2,{\mathrm{OC}}_2=4$

তাহলে, মূলবিন্দু$(0,0)$কেন্দ্র এবং $OB=2$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ,

$(x-0{)}^2+(y-0{)}^2=2^2$

বা, $x^2+y^2=4$

$\therefore x^2+y^2-4=0$ ......... (1)

আবার, $C_{1}A=1$হওয়ায়, ${\mathrm{BC}}_1=C_{1}A=1$

$\therefore C_1$কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $C_1(\mathrm{OB},{\mathrm{BC}}_1)$

বা, $C_1=(2,1)$

এবং ব্যাসার্ধ ${\mathrm{BC}}_1=C_{1}A=1$

$\therefore C_1(2,1)$কেন্দ্র ও $C_{1}A=1$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ,

$(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=1^2$

বা, $x^2-4x+4+y^2-2y+1=1$

$\therefore x^2+y^2-4x-2y+4=0$

(1) ও (2)নং বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ,

$\left(1\right)-\left(2\right)=0$

বা, $(x^2+y^2-4)-(x^2+y^2-4x-2y+4)=0$

বা, $x^2+y^2-4-x^2-y^2+4x+2y-4=0$

বা, $4x+2y-8=0$

$\therefore 2x+y-4=0$

নির্ণেয় সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ, $2x+y-4=0$.

এখানে, $C_1$কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র $C_1(2,1)$ব্যাসার্ধ = 1

$C_2$কেন্দ্দবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র $C_2(4,0)[\because \frac{1}{4}{\mathrm{OC}}_2=1\therefore {\mathrm{OC}}_2=4]$

ধরি, ব্যাসার্ধ = $r$

বৃত্তদ্বয় পরস্পর বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে

$\therefore$বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফল

বা, $C_1{C}_2=1+r$

বা, $\sqrt{(2-4{)}^2+(1-0{)}^2}=1+r$

বা, $\sqrt{4+1}=1+r$

বা, $r=\sqrt{5}-1$

মনে করি, OD এর সমীকরণ, $y=mx$ ...... (1)

তাহলে কেন্দ্র $C_2(4,0)$হতে (1)নং এর লম্ব দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ

বা, $\left|\frac{4m-0}{\sqrt{m^2+1}}\right|=\sqrt{5}-1$

বা, $\left|\frac{4m}{\sqrt{m^2+1}}\right|=\sqrt{5}-1$

বা, $\frac{16m^2}{m^2+1}=(\sqrt{5}-1{)}^2$ [বর্গ করর]

বা, $16m^2=(m^2+1)(\sqrt{5}-1{)}^2$

বা, $16m^2=(m^2+1)(5-2\sqrt{5}+1)$

বা, $16m^2=(m^2+1)(6-2\sqrt{5})$

বা, $16m^2=6m^2-2\sqrt{5}{m}^2+6-2\sqrt{5}$

বা, $10m^2+2\sqrt{5}{m}^2=6-2\sqrt{5}$

বা, $(10+2\sqrt{5})m^2=6-2\sqrt{5}$

বা, $m^2=\frac{6-2\sqrt{5}}{10+2\sqrt{5}}=\frac{3-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}$

$\therefore m=\pm \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}}$

$m$এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $y=\pm \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}}x$

নির্ণেয় সমীকরণ, $y=\pm \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}}x$