সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে D,E,P,Q,R,S যথাক্রমে…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৫ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

BCED চতুর্ভুজের BC, CE, ED ও DB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R,S, P ও Q

P, Q; Q, R; R, S ও S, P যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, PQRS একটি সামান্তরিক।

মনে করি, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\underset{―}{a},\overrightarrow{\mathrm{CE}}=\underset{―}{b},\overrightarrow{\mathrm{ED}}=\underset{―}{c},\overrightarrow{\mathrm{DB}}=\underset{―}{d}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{DQ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{ED}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{DB}}=\frac{1}{2}(c+d)$

অনুরূপভাবে, $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\frac{1}{2}(d+a),\overrightarrow{\mathrm{RS}}=\frac{1}{2}(a+b)$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\frac{1}{2}(b+c)$

কিন্তু $(\underset{―}{a}+\underset{―}{b})+(\underset{―}{c}+\underset{―}{d})=\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}=\overrightarrow{\mathrm{BE}}-\overrightarrow{\mathrm{BE}}=0$

বা, $(c+d)=-(a+b)$

বা, $\frac{1}{2}(c+d)=-\frac{1}{2}(a+b)$

বা, $\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{RS}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{RS}}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{SR}}$

তাহলে, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{SR}}$ এর ধারক রেখাদ্বয় একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়।

$\therefore$ ধারক রেখাদ্বয় সমান্তরাল।

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\Vert \overrightarrow{\mathrm{SR}}$

এবং $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{SR}}|$

$\therefore \mathrm{PQ}=\mathrm{SR}$

$\therefore \mathrm{PQ}$ এবং SR সমান ও সমান্তরাল।

অনুরূপভাবে, QR এবং PS সমান ও সমান্তরাল।

$\therefore PQRS$ একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)

এখানে, ABC ত্রিভুজের $\mathrm{AB},\mathrm{AC}$ ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও R. A, R; B, E; C, D যোগ করি।

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করতে হবে, $\overrightarrow{\mathrm{AR}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=0$

$△\mathrm{ABE}$ এ ভেক্টর যোগে ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}$

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}[\because \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}]$ বা, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}})$

আবার, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}})-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{BE}}$

আবার, $△\mathrm{ABR}$ এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে,

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BR}}=\overrightarrow{\mathrm{AR}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AR}}[\because \overrightarrow{\mathrm{BR}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}]$

বা, $\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BE})=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$

$△\mathrm{ACD}-$ এ ডেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}[\because \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}]$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}})$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2\overrightarrow{\mathrm{BE}}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2\overrightarrow{\mathrm{BE}}$

বামপক্ষ $=\overrightarrow{\mathrm{AR}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}$

$=(\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}})+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+(-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2\overrightarrow{\mathrm{BE}})$

$=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2\overrightarrow{\mathrm{BE}}$

$=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{BE}}-2\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\underset{―}{0}=$ ডানপক্ষ

সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{AR}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\underset{―}{0}$. (প্রমাণিত)