সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে একটি নদীর…’ ঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ ২০২৪ – ভৌতজগত ও পরিমাপ, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, দুটি সমান মানের ভেক্টর $\overrightarrow{P}$ এদের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে,

$R^2=P^2+P^2+2\cdot P\cdot P\cos \theta$

বা, $2P^2(1+\cos \theta )=0$

বা, $\cos \theta =-1$

$\therefore \theta ={180}^{\circ }$

অর্থাৎ, দুটি সমান সমজাতীয় ভেক্টরের লব্ধি শুন্য হবে যখন তাদের মধ্যবর্তী কোণ ${180}^{\circ }$

এখানে, নৌকার বেগ, $v=8\mathrm{km}{h}^{-1}=\frac{8\times 1000}{3600}m{s}^{-1}=\frac{20}{9}m{s}^{-1}$

স্রোতের বেগ, $u=6\mathrm{km}{h}^{-1}=\frac{6\times 1000}{3600}m{s}^{-1}=\frac{5}{3}m{s}^{-1}$
সোজা পথে নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়, $t=4\min =240s$

নদীর প্রস্থ, $d=$ ?
আমরা জানি,
ন্যূনতম পথে বা সোজা বরাবর পথে নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়,

$t=\frac{d}{\sqrt{v^2-u^2}}$

বা, $d=t\sqrt{v^2-u^2}$.

$=240\times \sqrt{{\left(\frac{20}{9}\right)}^2-{\left(\frac{5}{3}\right)}^2}$
$=352.77m$

অতএব, যদি মাঝি সোজা পথে 4 min এ পার হতে পারে তাহলে নদীর প্রস্থ 352.77 m ।

এখানে, নৌকার বেগ, $v=8\mathrm{km}{h}^{-1}=\frac{20}{9}m{s}^{-1}$

স্রোতের বেগ, $u=6\mathrm{km}{h}^{-1}=\frac{5}{3}m{s}^{-1}$
সোজা পথে যাত্রা করলে নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগের মধ্যবর্তী কোণ, $\alpha ={90}^{\circ }$
নদীর প্রস্থ, d = 352.77 m [‘গ’ হতে]
এক্ষেত্রে, নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময় $t^{\prime }$ হলে,
আমরা জানি, $t^{\prime }=\frac{d}{v\sin \alpha }=\frac{352.77}{\frac{20}{9}\sin {90}^{\circ }}=158.75s$
কিন্তু ‘গ’ হতে পাই, সোজা পথে নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়,

$t=4\min =240s$

এখানে, $t^{\prime }<t$
অর্থাৎ, সোজা পথে যাত্রা করলে কম সময়ে পৌছাবে।
সুতরাং, মাঝি সোজা পথে নৌকা নিয়ে যাত্রা করলে আগে পৌছাতে পারতো।