সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে O বিন্দু…’ সিলেট বোর্ড ২০১৭ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, প্রক্ষিপ্ত বস্তুটি p ও q দূরত্বে অবস্থিত যথাক্রমে q  ও p উচ্চতাকে কোনো রকমে অতিক্রম করে।

আমরা জানি, প্রক্ষেপণ কোণ α, প্রক্ষেপণ বেগ v এবং আনুভূমিক পাল্লা R হলে $y=x\tan \alpha (1-\frac{x}{R})$
$\therefore q=p\tan \alpha (1-\frac{p}{R})$......... (i)

এবং $p=q\tan \alpha (1-\frac{q}{R})$......... (ii)

(i) নং কে (ii) নং দ্বারা ভাগ করি, $\frac{q}{p}=\frac{p(1-\frac{p}{R})}{q(1-\frac{q}{R})}$

বা, $\frac{q^2}{p^2}=\frac{R-p}{R-q}$ বा, $q^{2}R-q^3=p^{2}R-p^3$
বা, $p^3-q^3=R(p^2-q^2)$
বা, $(p-q)(p^2+pq+q^2)=R(p-q)(p+q)$

$\therefore R=\frac{p^2+\mathrm{pq}+q^2}{p+q}$ (Ans.)

t সময়ে বস্তুকণাটির আনুভূমিক বেগ = vcos $\alpha$

t সময়ে বস্তুকণাটির উল্লম্ব বেগ = vsin $\alpha -gt$

যেহেতু বস্তুকণাটি প্রক্ষেপণ দিকের সাথে লম্বভাবে চলে কাজেই এটি আনুভূমিকের সাথে $({90}^{\circ }+\alpha )$ কোণ উৎপন্ন করবে।

বা, $-\cot \alpha =\frac{v\sin \alpha -\mathrm{gt}}{v\cos \alpha }$

বা, $-\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{v\sin \alpha -\mathrm{gt}}{v\cos \alpha }$

বা, $v{\sin }^2\alpha -gt\sin \alpha =-v{\cos }^2\alpha$

বা, v( ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )=\mathrm{gt}\sin \alpha$

বা, $v=\mathrm{gt}\sin \alpha$ বা, $t=\frac{v}{g\sin \alpha }$

$\therefore t=\frac{\mathrm{vcosec}\alpha }{g}$ (দেখানো হলো)