সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে, O মূলবিন্দু।…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপক হতে, উপকেন্দ্র, S(0,0)

উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{1}{\sqrt{3}}$

এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ, $3x+4y-12=0$

ধরি, উপবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$

উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, SP = e. PM

বা, ${\mathrm{SP}}^2=e^2{\mathrm{PM}}^2$

বা, $(x-0{)}^2+(y-0{)}^2=\frac{1}{3}{\left|\frac{3x+4y-12}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|}^2$

বা, $x^2+y^2=\frac{1}{75}(3x+4y-12{)}^2$

বা, $75x^2+75y^2=9x^2+16y^2+144+24\mathrm{xy}-96y-72x$

বা, $66x^2+59y^2-24xy+72x+96y-144=0$;

ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

উদ্দীপক হতে, AC রেখা $3x+4y=12$

বা, $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$

রেখাটি $x$-অক্ষকে $A(4,0)$ এবং $y$ অক্ষকে $C(0,3)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

যেহেতু, AC = BC = 5

সুতরাং, B(- 4, 0) হবে।

এখানে, অধিবৃত্তের কেন্দ্র, O(0, 0)

ধরি, অধিবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ......... (1)

উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{3}$

$\therefore ae=4$

বা, $a\times \sqrt{3}=4$

বা, $a=\frac{4}{\sqrt{3}}$

বা, $a^2=\frac{16}{3}$

আবার, $b=a\sqrt{e^2-1}$

বা, $b=\frac{4}{\sqrt{3}}\sqrt{3-1}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$\therefore b^2=\frac{32}{3}$

$a^2$ ও $b^2$ এর মান (1)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{\frac{16}{3}}-\frac{y^2}{3^2}=1$

বা, $\frac{3x^2}{16}-\frac{3y^2}{32}=1$

$\therefore 6x^2-3y^2=32$

নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ, $6x^2-3y^2=32$.