সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে O, S…’ ময়মনসিংহ গার্লস ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে; উপকেন্দ্র $S(a,0)$, শীর্ষবিন্দু $O(0,0)$ যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$.

ধরি, $z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $z(\alpha ,\beta )$

এখন, $\frac{\alpha +a}{2}=0$

বা, $\alpha +a=0$

$\therefore \alpha =-a$

এবং $\frac{\beta +0}{2}=0$

$\therefore \beta =0$

$\therefore z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $z(-a,0)$

পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখা MZ এর সমীকরণ, $x=-a$

$\therefore x+a=0$ ......... (1)

তাহলে, $SP=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-0{)}^2}=\sqrt{(x-a{)}^2+y^2}$

$PM=\left|\frac{x+a}{\sqrt{1^2}}\right|=|x+a|$

পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, $SP=PM$

বা, $\sqrt{(x-a{)}^2+y^2}=|x+a|$

বা, $(x-a{)}^2+y^2=(x+a{)}^2$ [বর্গ করে]

বা, $y^2=(x+a{)}^2-(x-a{)}^2$

$\therefore y^2=4ax[\because (a+b{)}^2-(a-b{)}^2=4ab]$

নির্ণেয় পরাবৃত্তটির সমীকরণ, $y^2=4ax$.

দেওয়া আছে, $S(4,-3)$ এবং $T(-4,-3)$ বিন্দুদ্বয় উপবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{1}{2}$

উপবৃত্তের শীর্ষদ্বয় $x$-অক্ষের সমান্তরাল রেখার উপর অবস্থিত।

ধরি, উপবৃত্তের সমীকরণ $\frac{(x-\alpha )}{a^2}+\frac{(y-\beta {)}^2}{b^2}=1$ ....... (1)

∴ উপবৃত্তের কেন্দ্র $\equiv (\alpha ,\beta )$

∴ কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, $(\alpha ,\beta )=(\frac{4-4}{2},\frac{-3-3}{2})=(0,-3)$

আবার, উপবৃত্তটির শীর্ষের স্থানাঙ্ক $(\pm a+\alpha ,\beta )$

$\therefore a+\alpha =4\dots \dots ..\left(2\right)$

এবং $-a+\alpha =-4$ ........ (3)

(2) ও (3) নং হতে পাই, $\alpha =4[\because \alpha =0]$

উত্তকন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{2}$

বা, $\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{2}$

বা, $1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{4}$ [বর্গ করে]

বা, $\frac{b^2}{a^2}=1-\frac{1}{4}$.

বা, $\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$

বা, $\frac{b^2}{4^2}=\frac{3}{4}$

বা, $b^2=\frac{3\times 4^2}{4}$

বা, $b^2=12$

$\therefore b=2\sqrt{3}$

(1) নং সমীকরণে $\alpha ,\beta ,a$ ও $b$ এর মান বসিয়ে পাই,

$\therefore$ উপবৃত্তের সমীকরণ,

বা, $\frac{(x-0{)}^2}{4^2}+\frac{(y+3{)}^2}{(2\sqrt{3}{)}^2}$

বা।, $\frac{x^2}{16}+\frac{(y+3{)}^2}{12}=1$

বা, $\frac{3x^2+4(y+3{)}^2}{48}=1$

বা, $3x^2+4(y+3{)}^2=48$

নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ $3x^2+4(y+3{)}^2=48$.