সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে OA =…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২২ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\mathrm{OA}=4$ এবং $A,x$ অক্ষের উপর অবস্থিত।

$\therefore A$ বিন্দুর স্থানাংক $(4,0)$.

$\mathrm{OB}=2$ এবং $B,y$ অক্ষের উপর অবস্থিত।

$\therefore B$ বিন্দুর স্থানাংক $(0,-2)$.

যেহেতু $\mathrm{AP}=\mathrm{PQ}=\mathrm{QB}$

সেহেতু $P,Q$ বিন্দুদ্য $AB$ রেখার সমত্রিখণ্ডক বিন্দু ।

$P$ বিন্দু $AB$ রেখাকে $1:2$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

$\therefore P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=(\frac{1\times 0+2\times 4}{1+2},\frac{1(-2)+2\times 0}{1+2})$

$=(\frac{8}{3},\frac{-2}{3})$

আবার, Q, PB এর মধ্যবিন্দু

$\therefore Q$ বিন্দুর স্থানাংক $(\frac{\frac{8}{3}+0}{2},\frac{-2-\frac{2}{3}}{2})=(\frac{8}{6},\frac{-8}{6})$

এবং মূলবিন্দু $O(0,0)$

$\therefore \Delta \mathrm{OPQ}$ এর ক্ষেত্রেল $=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ \frac{8}{6}& -\frac{8}{6}& 1\\ \frac{8}{3}& -\frac{2}{3}& 1\end{array}\right|=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}\frac{8}{6}& \frac{-8}{6}\\ \frac{8}{3}& -\frac{2}{3}\end{array}\right|$

বর্গএকক$\begin{array}{cc}& =\frac{1}{2}(-\frac{16}{18}+\frac{64}{18})\\ & =\frac{1}{2}\times \frac{48}{18}=\frac{4}{3}\text{ বর্গ একক }\end{array}$

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $\frac{4}{3}$ বর্গ একক।

উদ্দীপক হতে, $OA=4$ এবং $OC=3$

$\therefore AC$ রেখার সমীকরণ, $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$

বা, $3x+4y=12$

বা, $4y=-3x+12$

বা, $y=-\frac{3}{4}x+\frac{12}{4}=-\frac{3}{4}x+3$

$\therefore AC$ রেখার ঢাল, $m_1=-\frac{3}{4}$

ধরি, $(4,0)$ বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল $=m_2$
এবং রেখাটি $AC$ রেখার সাথে ${45}^{\circ }$ কোণ উৎপন্ন করে।
$\therefore$ রেখাটির সমীকরণ, $y-0=m_2(x-4)\dots \dots \dots \left(1\right)$

প্রশ্নমতে, $\tan {45}^{\circ }=\pm \frac{m_2+\frac{3}{4}}{1+m_2(-\frac{3}{4})}$

বা, $1=\pm \frac{\frac{4m_2+3}{4}}{\frac{4-3m_2}{4}}=\pm \frac{4m_2+3}{4-3m_2}$

বা, $4-3m_2=\pm (4m_2+3)$

$(+)$ চিহ্ন নিয়ে,
$4-3m_2=4m_2+3$
বা, $7m_2=1$ বা, $m_2=\frac{1}{7}$

$(-)$ চিহ্ন নিয়ে,
$4-3m_2=-4m_2-3$
বা, $m_2=-7$

$\left(1\right)$ নং সমীকরণে $m_2=\frac{1}{7}$ বসিয়ে পাই,
$y-0=\frac{1}{7}(x-4)$

বা, $x-4=7y$
$\therefore x-7y-4=0$

আবার, $\left(1\right)$ নং সমীকরণে $m_2=-7$ বসিয়ে পাই,
$y-0=-7(x-4)$

বা, $y-0=-7x+28$
$\therefore 7x+y-28=0$

নির্ণেয় সমীকরণ, $x-7y-4=0,7x+y-28=0.$