সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে PQ ব্যাস।…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৪ – ঘন জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, PQ ব্যাসের ওপর PQRS একটি অর্ধবৃত্ত। PR ও QS জ্যাদ্বয় পরস্পর $T$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, ${\mathrm{PQ}}^2=\mathrm{PR}.\mathrm{PT}+\mathrm{QS}.\mathrm{QT}$ ।

অঙ্কন : $R,S$ যোগ করি।

প্রমাণ: $△\mathrm{RTS}$ ও $△\mathrm{PTQ}-$ এ

$\angle \mathrm{TSR}=\angle \mathrm{TPQ}$ [একই চাপ QR-এর ওপর অবস্থিত]

এবং $\angle \mathrm{STR}=\angle \mathrm{PTQ}$ [বিপ্রতীপ কোণ বলে]

অবশিষ্ট $\angle \mathrm{TRS}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{TQP}$

$\therefore △\mathrm{RTS}$ ও $△\mathrm{PTQ}$ সদৃশ।

$\therefore \frac{\mathrm{PT}}{\mathrm{ST}}=\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{RT}}$

বা, $\mathrm{PT}.\mathrm{RT}=\mathrm{QT}.\mathrm{ST}$

বা, $\mathrm{PT}.\mathrm{RT}+\mathrm{PT}{}^2=\mathrm{QT}.\mathrm{ST}+{\mathrm{PT}}^2$ [উভয়পক্ষে ${\mathrm{PT}}^2$ যোগ করে]

বা, $\mathrm{PT}(\mathrm{RT}+\mathrm{PT})=\mathrm{QT}\cdot \mathrm{ST}+{\mathrm{ST}}^2+{\mathrm{PS}}^2$

$[\mathrm{PQ}$ ব্যাস বলে $\angle \mathrm{PST}=\angle \mathrm{PSQ}={90}^{\circ };\therefore {\mathrm{PT}}^2={\mathrm{PS}}^2+{\mathrm{ST}}^2]$

বা, $\mathrm{PT}\cdot \mathrm{PR}={\mathrm{PQ}}^2-\mathrm{QS}(\mathrm{QS}-\mathrm{ST})$

বা, $\mathrm{PT}\cdot \mathrm{PR}={\mathrm{PQ}}^2-\mathrm{QS}\cdot \mathrm{QT}$

$\therefore {\mathrm{PQ}}^2=\mathrm{PR}\cdot \mathrm{PT}+\mathrm{QS}\cdot \mathrm{QT}$ (প্রমাণিত)

চিত্রে, PQR ত্রিভুজের $\angle \mathrm{PRQ}$ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ বলে $△\mathrm{PQR}$ সমকোণী ত্রিভুজ ।

এখন, ত্রিভুজটিকে PR বাহুর চারদিকে ঘুরালে সমবৃত্তভূমিক কোণক উৎপন্ন হবে।

কোণকটির ভূমির ব্যাসার্ধ, r=QR=6 সেমি

এবং হেলানো উচ্চতা, $l=\mathrm{PQ}=10$ সেমি।

$\therefore$ কোণকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $=\pi r(r+l)$ বর্গএকক

$=\pi \cdot 6(6+10)$ বর্গ সেমি

$=301.5936$ বর্গ সেমি (Ans.)