সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে △PQR এর…’ কুমিল্লা জিলা স্কুল ২০২৬ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $△\mathrm{PQR}$-এর $\mathrm{PQ},\mathrm{QR}$ ও PR বাহুত্রয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে T, D ও S । প্রমাণ করতে হবে যে, $\overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}+\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\underset{―}{0}$. 

ভেষ্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, $△\mathrm{PQS}$ হতে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}=\overrightarrow{\mathrm{PS}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PR}}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PR}}=2\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2\overrightarrow{\mathrm{QS}}\dots \dots \dots ..\text{ (i) }$

$\Delta \mathrm{PQR}$ হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=2\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2\overrightarrow{\mathrm{QS}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\left\{\right[\left(i\right)$ নং হতে $\left]\right\}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2\overrightarrow{\mathrm{QS}}...............\text{ (ii) }$

$△\mathrm{PQD}$ হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QD}}=\overrightarrow{\mathrm{PD}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{PD}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}[\because \overrightarrow{\mathrm{QD}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}]...............\text{ (iii) }$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{PD}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2\overrightarrow{\mathrm{QS}})$$\left[\right(ii)$ নং হতে $]$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PD}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}$

$△\mathrm{PRT}$ হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{PR}}+\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\overrightarrow{\mathrm{PT}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\overrightarrow{\mathrm{PT}}-\overrightarrow{\mathrm{PR}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}-\overrightarrow{\mathrm{PR}}[\because \overrightarrow{\mathrm{PT}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}]$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}-(2\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2\overrightarrow{\mathrm{QS}})$  $\left[\right(i)$ নং হতে $]$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{RT}}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}-2\overrightarrow{\mathrm{QS}}$$.........\left(iv\right)$

বামপক্ষ $=\overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}+\overrightarrow{\mathrm{RT}}$

$=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}-2\overrightarrow{\mathrm{QS}}$

$=\underset{―}{0}$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}+\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\underset{―}{0}.$
(প্রমাণিত )

মনে করি, QRTS ট্রাপিজিয়ামের QT ও SR কর্ণের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N। প্রমাণ করতে হবে যে,

$\mathrm{MN}\Vert \mathrm{ST}\Vert \mathrm{QR}$ এবং $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{ST})$.

প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিন্ট মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে Q, R, T ও S বিন্দুর অবস্থান ভেক্তর যথাক্রমে $\underset{―}{q},\underset{―}{r},\underset{―}{t}$ ও $\underset{―}{s}$

তাহলে, $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underset{―}{r}-\underset{―}{q}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\underset{―}{t}-\underset{―}{s}$

এখন, M বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{q}+\underset{―}{t})$

এবং N বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(r+s)$

সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{2}(r+s)-\frac{1}{2}(q+t)$

$=\frac{1}{2}(r+s-q-t)=\frac{1}{2}(r-q+s-t)$

কিন্তু, $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underset{―}{r}-\underset{―}{q}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{TS}}=\underset{―}{s}-\underset{―}{t}$

অর্থাৎ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{TS}})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{QR}}-\overrightarrow{\mathrm{ST}})$

বা, $|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{QR}}-\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$

বা, $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|-|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|)=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{ST})$

এখন, $\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{ST}}$ সমান্তরাল কিন্তু বিপরীতমুখী।

সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{QR}}-\overrightarrow{\mathrm{ST}}$ ভেক্টরও $\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{ST}}$ এর সমান্তরাল।

অর্থাৎ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ ভেক্টরও $\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{ST}}$ এর সমান্তরাল।

$\therefore \mathrm{MN}\Vert \mathrm{ST}\Vert \mathrm{QR}$ এবং $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{ST}).($ প্রমাণিত $)$