সৃজনশীলঃ ‘চিত্রের P ও…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২২ – ভৌতজগত ও পরিমাপ, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, $\overrightarrow{P}$ ও $\overrightarrow{Q}$ দুটি অসমান ভেক্টর এবং $\overrightarrow{R}$ এদের লদ্ধি তাহলে, $R_{min}=P\sim Q$

অর্থাৎ দুটি ভেক্টরের লদ্ধির সর্বনিম্ন মান ভেক্টরের অন্তর ফলের সমান। দুটি ভেক্টর অসমান হলে এদের অন্তরফল বা পার্থক্য থাকবেই। আর এই পার্থক্যই হবে দুটি ভেক্টরের সর্বনিম্ন লদ্ধি। তাই অসমান ভেক্টরের লদ্ধি কখনোও শূন্য হতে পারে না।

এখানে,

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{P}=\hat{ı}+3\hat{ȷ}+2\hat{k}\\ & \overrightarrow{Q}=2\hat{ı}+\hat{ȷ}+3\hat{k}\end{array}$

এখন,

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}& =\left|\begin{array}{ccc}\hat{ı}& \hat{ȷ}& \hat{k}\\ 1& 3& 2\\ 2& 1& 3\end{array}\right|\\ & =\hat{ı}(9-2)-\hat{ȷ}(3-4)\hat{k}(1-6)\\ & =7\hat{ı}+\hat{ȷ}-5\hat{k}\end{array}$

$\therefore$ ∆OPQ - এর ক্ষেত্রফল,

$=\frac{1}{2}|\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}|$

$=\frac{1}{2}\sqrt{7^2+1^2+(-5{)}^2}$

$=\frac{\sqrt{75}}{2}=4.33$ বর্গএকক [Ans]

‘গ’ হতে পাই,

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{P}=\hat{ı}+3\hat{ȷ}+2\hat{k}\\ & \overrightarrow{Q}=2\hat{ı}+\hat{ȷ}+3\hat{k}\end{array}$

এবং$\begin{array}{cc}& \therefore \overrightarrow{P}-\overrightarrow{Q}=3\hat{ı}+4\hat{ȷ}+3\hat{k}\\ & এবং\overrightarrow{P}-\overrightarrow{Q}=-\hat{i}+2\hat{ȷ}-\hat{k}\\ & \therefore \overrightarrow{P}-\overrightarrow{Q}=\sqrt{3^2+4^2+5^2}\\ & =\sqrt{50}\\ & \end{array}$

এবং$\begin{array}{cc}& \text{ এবং }|\overrightarrow{P}-\overrightarrow{Q}|=\\ & \sqrt{(-1{)}^2+2^2+(-1{)}^2}\\ & =\sqrt{6}\end{array}$

$\begin{array}{cc}\therefore \cos {\beta }_1& =\frac{4}{\sqrt{50}}\\ & =0.566\end{array}$

$\begin{array}{cc}\therefore \cos {\beta }_2& =\frac{2}{\sqrt{6}}\\ & =0.816\end{array}$

$\begin{array}{cc}\therefore {\beta }_1& ={\mathrm{ws}}^{-1}\left(0.566\right)\\ & ={55.6}^{\circ }\end{array}$

$\begin{array}{cc}\therefore {\beta }_2& ={\cos }^{-1}\left(0.816\right)\\ & ={35.26}^{\circ }\end{array}$

$\therefore \overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}$ এবং $\overrightarrow{P}-\overrightarrow{Q}$ সমান কোন উৎপন্ন করে না।