সৃজনশীলঃ ‘চিত্রের পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্র…’ সিলেট বোর্ড ২০২৩ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, পরাবৃত্তটির শীর্ষ A(2,3) এবং উপকেন্দ্র S(2,7) হলে অক্ষরেখা হবে y অক্ষের সমান্তরাল

আবার, AS $=a=\sqrt{(2-2{)}^2+(7-3{)}^2}$

$=\sqrt{0+4^2}=4$

আমরা জানি, $(\alpha ,\beta )$ শীর্ষ ও অক্ষরেখা y অক্ষের সমান্তরাল হলে পরাবৃত্তের সমীকরণ $(x-\alpha {)}^2=4a(y-\beta )$

$\therefore (2,3)$ শীর্ষবিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ,

$(x-2{)}^2=4\cdot a(y-3)$

বা, $(x-2{)}^2=4.4(y-3\left)\right[\because a=4]$

বা, $x^2-4x+4=16y-48$

$\therefore x^2-4x-16y+52=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তটির সমীকরণ, $x^2-4x-16y+52=0$

এখানে, পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু $A(-1,3)$

এবং নিয়ামক রেখা $MZ:2x-3y+2=0$ ........ (1)

আবার, অক্ষরেখা নিয়ামকরেখার উপর লম্ব বলে, অক্ষরেখার সমীকরণ,

$3x+2y+k=0$ যা (-1,3) বিন্দুগামী

$\therefore 3\times (-1)+2\times 3+k=0$

বা, $-3+6+k=0$

বা, $3+k=0$

$\therefore k=-3$

অক্ষরেখার সমীকরণ, $3x+2y-3=0$ .......... (2)

Z হচ্ছে অক্ষরেখা ও নিয়ামকরেখার ছেদবিন্দু।

অর্থাৎ সমীকরণ (1) ও (2) এর ছেদবিন্দু

এখন, (1) $\times 2+\left(2\right)\times 3$ হতে পাই,

$4x-6y+4=0$

$\underset{―}{9x+6y-9=0}$

 (যোগ করে), $13x-5=0$

বা, $x=\frac{5}{13}$

$x$ এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

2. $\frac{5}{13}-3y+2=0$

বা, $\frac{10}{13}-3y+2=0$

বা, $3y=\frac{10}{13}+2=\frac{10+26}{13}=\frac{36}{13}$

$\therefore y=\frac{12}{13}$

$Z(\frac{5}{13},\frac{12}{13})$

ধরি, উপকেন্দ্র $S(\alpha ,\beta )$

আবার, $Z$ 5 এর মধ্যবিন্দু A

$\therefore \frac{\alpha +\frac{5}{13}}{2}=-1$

বা, $\alpha =-2-\frac{5}{13}=\frac{-26-5}{13}=\frac{-31}{13}$

$\frac{\beta +\frac{12}{13}}{2}=3$

বা, $\beta =6-\frac{12}{13}=\frac{78-12}{13}=\frac{66}{13}$

$\therefore$ উপকেন্দ্র $5(-\frac{31}{13},\frac{66}{13})$

আবার, উপকেন্দ্রিক লম্ব অক্ষরেখার উপর লম্ব এবং ইহা উপকেন্দ্র ‍S বিন্দুগামী।

সুতরাং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $2x-3y+k=0$ ......... (3)

(3)নং সমীকরণ, s $(\frac{-31}{13},\frac{66}{13})$ বিন্দুগামী,

$\therefore 2\times \left(\frac{-31}{13}\right)-3\times \frac{66}{13}+k=0$

বা, $\frac{-62}{13}-\frac{198}{13}+k=0$

বা, $\frac{-260}{13}+k=0$

বা, $-20+k=0$

$\therefore k=20$

$k$ - এর মান (3) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই $2x-3y+20=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ $2x-3y+20=0$.