সৃজনশীলঃ ‘চিত্রটি একটি কণিক…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৭ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

A ও S এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (1,2) ও (-2, 2)

ধরি, Z বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y)

আমরা জানি, পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে ZA = AS 

$therefore frac{x-2}{2}=1$     এবং $\frac{y+2}{2}=-2$

বা, $x-2=2$                    বা, $y+2=-4$

$\therefore x=4$     $\therefore y=-6$

$\therefore Z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(4,-6)$ 

এখন, A ও S বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ, 

$\frac{x-1}{1+2}=\frac{y+2}{-2-2}$ বা, $\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-4}$

বা, $3y+6=-4x+4$

 ∴ 4x + 3y + 2 = 0 .......(i)

ধরি, (i) এর লম্ব রেখার (MZM') সমীকরণ,

3x - 4y + k= 0 ......... (ii)

(ii) নং রেখাটি Z(4,- 6) বিন্দুগামী

$\therefore 3.4-4(-6)+k=0$

বা, $12+24+k=0$$\therefore k=-36$

$\therefore {\mathrm{MZM}}^{\prime }$ এর সমীকরণ $3x-4y-36=0$ (Ans.)

দেওয়া আছে, SP : PM = 1 : 2

বা, $\frac{\mathrm{SP}}{\mathrm{PM}}=\frac{1}{2}$

বা, PM = 2SP ......... (i)

ধরি, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y)
আবার, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $S(-2,2)$
এবং MZM' রেখার সমীকরণ $3x+4y=1$

(i) থেকে পাই, $\frac{3x+4y-1}{\sqrt{3^2+4^2}}=2\cdot \sqrt{(x+2{)}^2+(y-2{)}^2}$

বা,  $\frac{3x+4y-1}{5}=2\sqrt{x^2+4x+4+y^2-4y+4}$

বা,  $(3x+4y-1{)}^2={\left(10\sqrt{x^2+y^2+4x-4y+8}\right)}^2$

বা, $9x^2+16y^2+1+24xy-6x-8y=100(x^2$$+y^2+4x-4y+8)$

বা, $100x^2+100y^2+400x-400y+800-9x^2$$-16y^2-24xy+6x+8y-1=0$

$\therefore 91x^2+84y^2-24xy+406x-392y+799=0$ 

যা নির্ণেয় কণিকের সমীকরণ।